选择排序—堆排序(Heap Sort)

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

基本思想：

堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足

堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。
若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：

（a）大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)

  (b)  小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
调整小顶堆的方法：

1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.

4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.

5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：

'

再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。

1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第

个结点的子树。 2）筛选从第

个结点为根的子树开始，该子树成为堆。

3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

算法的实现：

从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。

注意:理解什么是堆:完全二叉树，全部父节点>子节点或父节点<子节点

 对于3,1,5,2,4,9,6构建堆

 在数组中a[8] = {3,1,5,2,4,9,6};  

从后向前构建堆

i= 2时 (length-1)/2    5与9交换

此时指向9的位置，递归之后本次停止

当i=1    父节点为1

1与4交换

此时指向4的之前位置，递归之后本次停止

当i=0

先是3与9交换

数组的顺序为:9,4,3,2,1,5,6

通过排序算法，让第一个和最后一个交换，下依次循环第一个与倒数第二个交换。。。。。依次类推

最后顺序为:1,2,3,4,5,6,9

# include <stdio.h>

/**
  a是完全二叉树 
  i是父节点
  size 一共有多少个节点 
*/
//此函数是构建堆，从最后一页叶子节点开始遍历，利用递归 
void heapify(int a[],int i,int size){
  //此方法是比较三个节点的大小的关系，父，两个子 
  
  
  /**
    左孩子   2i+1
    右孩子   2i+2 
  */ 
  if(i<size){
    int left = i*2 + 1; //左孩子 
    int right = i*2 + 2;//右孩子 
    int largest = i;//当前父节点的下标 
  
    if(left < size) {
      if(a[largest] < a[left])  largest = left;
    }
    if(right < size) {
      if(a[largest] < a[right])  largest = right;  
    }
    //获取最大的节点 
    
    if(largest!=i){ //证明有最大的节点 
      int temp = a[largest];
      a[largest] = a[i];
      a[i] = temp;
      heapify(a,largest,size); //改变就递归 
    }
  }
}

/** 
 * 初始堆进行调整 
 * 将a[0..size-1]建成堆 
 * 调整完之后第一个元素是序列的最大的元素 
 * 意思就是把堆有序 
 */ 
 
void max_heapfy(int a[],int size){
  
  int i;
  for(i=(size-1)/2;i>=0;i--){
    heapify(a,i,size);
  }
  
}

/** 
 * 堆排序算法 
 */  
void heap_sort(int a[],int size){
  
  int i;
  for(i=size-1;i>=0;i--){//从最后一个节点开始 
    max_heapfy(a,i+1);
    int temp = a[0];
    a[0] = a[i];
    a[i] = temp; 
  }
  
}

int main(){
  
  int a[8] = {3,1,5,2,4,9,6};  
    heap_sort(a,7);  
    for(int i=0;i<7;i++){
      printf("%d ",a[i]);
    }
    printf("\n");
  
  return 0;
}