堆排序是一种树形选择排序,是对直接选择排序的有效改进。

基本思想:

堆的定义如下:具有n个元素的序列(k1,k2,...,kn),当且仅当满足

排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_子树

时称之为堆。由堆的定义可以看出,堆顶元素(即第一个元素)必为最小项(小顶堆)。 若以一维数组存储一个堆,则堆对应一棵完全二叉树,且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值,根结点(堆顶元素)的值是最小(或最大)的。如:

(a)大顶堆序列:(96, 83,27,38,11,09)

  (b)  小顶堆序列:(12,36,24,85,47,30,53,91)

排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_子树_02

 

初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树(一维数组存储二叉树),调整它们的存储序,使之成为一个堆,将堆顶元素输出,得到n 个元素中最小(或最大)的元素,这时堆的根节点的数最小(或者最大)。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆,输出堆顶元素,得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推,直到只有两个节点的堆,并对它们作交换,最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序

因此,实现堆排序需解决两个问题: 1. 如何将n 个待排序的数建成堆; 2. 输出堆顶元素后,怎样调整剩余n-1 个元素,使其成为一个新堆。

 

首先讨论第二个问题:输出堆顶元素后,对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。 调整小顶堆的方法:

1)设有m 个元素的堆,输出堆顶元素后,剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶((最后一个元素与堆顶进行交换),堆被破坏,其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2)将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3)若与左子树交换:如果左子树堆被破坏,即左子树的根结点不满足堆的性质,则重复方法 (2).

4)若与右子树交换,如果右子树堆被破坏,即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 (2).

5)继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作,直到叶子结点,堆被建成。

称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图:

排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_堆排序_03

 

再讨论对n 个元素初始建堆的过程。 建堆方法:对初始序列建堆的过程,就是一个反复进行筛选的过程。

1)n 个结点的完全二叉树,则最后一个结点是第排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_堆排序_04个结点的子树。

2)筛选从第排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_堆排序_04个结点为根的子树开始,该子树成为堆。

3)之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选,使之成为堆,直到根结点。

如图建堆初始过程:无序序列:(49,38,65,97,76,13,27,49)                               排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_堆排序_06

                              排序算法(四):堆排序(Heap Sort)_子树_07

 

 算法的实现:

从算法描述来看,堆排序需要两个过程,一是建立堆,二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数,二是反复调用渗透函数实现排序的函数。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

void print(int a[],int i)
{
cout<<i <<" : ";
for(int j= 0; j<10; j++)
{
cout<<a[j] <<" ";
}
cout<<endl;
}
/**
* 已知H[s…m]除了H[s] 外均满足堆的定义
* 调整H[s],使其成为大顶堆.即将对第s个结点为根的子树筛选,
*
* @param H是待调整的堆数组
* @param s是待调整的数组元素的位置
* @param length是数组的长度
*
*/
void HeapAdjust(int H[],int s, int length)
{
int tmp = H[s];
int child = 2*s+1; //左孩子结点的位置。(i+1 为当前调整结点的右孩子结点的位置)
while (child < length) {
if(child+1 <length && H[child]<H[child+1]) { // 如果右孩子大于左孩子(找到比当前待调整结点大的孩子结点)
++child ;
}
if(H[s]<H[child]) { // 如果较大的子结点大于父结点
H[s] = H[child]; // 那么把较大的子结点往上移动,替换它的父结点
s = child; // 重新设置s ,即待调整的下一个结点的位置
child = 2*s+1;
} else { // 如果当前待调整结点大于它的左右孩子,则不需要调整,直接退出
break;
}
H[s] = tmp; // 当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上
}
print(H,length);
}


/**
* 初始堆进行调整
* 将H[0..length-1]建成堆
* 调整完之后第一个元素是序列的最小的元素
*/
void BuildingHeap(int H[], int length)
{
//最后一个有孩子的节点的位置 i= (length -1) / 2
for (int i = (length -1) / 2 ; i >= 0; --i)
HeapAdjust(H,i,length);
}
/**
* 堆排序算法
*/
void HeapSort(int H[],int length)
{
//初始堆
BuildingHeap(H, length);
//从最后一个元素开始对序列进行调整
for (int i = length - 1; i > 0; --i)
{
//交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素
int temp = H[i]; H[i] = H[0]; H[0] = temp;
//每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后,都要对堆进行调整
HeapAdjust(H,0,i);
}
}
int main()
{
int H[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
HeapSort(H,10);
return 0;

}

 

运行结果:

10 : 3 1 5 7 8 4 9 6 10 2 
10 : 3 1 5 10 8 4 9 6 7 2
10 : 3 1 9 10 8 4 5 6 7 2
10 : 3 10 9 7 8 4 5 6 1 2
10 : 10 8 9 7 3 4 5 6 1 2
9 : 9 8 5 7 3 4 2 6 1 10
8 : 8 7 5 6 3 4 2 1 9 10
7 : 7 6 5 1 3 4 2 8 9 10
6 : 6 3 5 1 2 4 7 8 9 10
5 : 5 3 4 1 2 6 7 8 9 10
4 : 4 3 2 1 5 6 7 8 9 10
3 : 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10
2 : 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
1 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10