【递归/DP】整数划分

整数划分问题

放苹果

题目

思路

这题是允许空盘子的
DP没写出来，递归也没想明白，属实蒟蒻了
递归的想法
m<1的时候都有一种
n==1的时候有一种
然后考虑一般数据
如果苹果数>=盘子数，我们有两种选择
所有盘子放一个苹果f(m-n,n),或者选一个盘子不放东西f(m,n-1)
如果苹果数<盘子数，我们肯定有盘子是不放的f(m,n-1),直接点是f(m,m)

代码

// Problem: P2386 放苹果
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2386
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// FishingRod
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl "\n"
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

/*DATA & KEY
n 1 10
m 1 10
t 0 20
*/
int T;
int work(int m,int n)
{
  if(m<1||n==1)return 1;
  if(m>=n)return work(m,n-1)+work(m-n,n);
  else return work(m,m);
  
}
void solve(int T)
{
  //NEW DATA CLEAN
  //NOTE!!!
  int n,m;cin>>m>>n;
  cout<<work(m,n)<<endl;
}

int main()
{
  scanf("%d",&T);
  while(T--)solve(T);
  return 0;
}

数的划分

思路

和上题的区别是这题不能为空，那么先每个盘子放一个然后就能转化为和上题一样的题目了

代码

// Problem: P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1025
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// FishingRod
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl "\n"
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

/*DATA & KEY

*/
int T;
LL f[205][10];
LL work(int n,int k)
{
  if(f[n][k]!=-1)return f[n][k];
  if(n<=1||k==1)return f[n][k]=1;
  if(n>=k)return f[n][k]=work(n-k,k)+work(n,k-1);
  else return f[n][k]=work(n,n);
}
void solve()
{
  //NEW DATA CLEAN
  memset(f,-1,sizeof f);
  //NOTE!!!
  int n,k;cin>>n>>k;
  cout<<work(n-k,k)<<endl;
  
}

int main()
{
//  scanf("%d",&T);
//  while(T--)solve(T);
  solve();
  return 0;
}

279. 自然数拆分

思路

完全背包问题
由于至少选2个所以总共n-1个物品，体积为1~n-1。然后求方案数
二维$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-w]$
目标为$f[n-1][n]$
可以省略第一维度$f[j]=f[j]+f[j-w]$
目标为$f[n]$

代码

//Title:279. 自然数拆分
//URL:https://www.acwing.com/problem/content/281/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=4005,mod=2147483648;
int n;
LL f[N];
//物品1~n-1
int main()
{
    cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            f[j]+=f[j-i]%mod;
            f[j]%=mod;
        }
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}

总结

整数划分问题需要注意是否允许空盘，有没有限定分组数量。
一半这类问题有以下思考方向：递归（确定组数的），背包DP（不限组数的），DFS回溯（数据量小的），数学方法（排列组合，生成函数）