整数划分
- 描述
- 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不
同划分个数。
例如正整数6有如下11种不同的划分：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。- 输入
- 第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。
- 输出
- 输出每组测试数据有多少种分法。
- 样例输入
-
1 6
- 样例输出
-
11
- 来源
- [苗栋栋]原创
思路：
递归法：
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
（1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };
(2) 当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };
(3) 当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；
(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。
因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);
(4) 当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n);
(5) 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分
个数为 f(n-m, m);
(b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);
因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);
综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )
f(n, n); ( n < m )
1+ f(n, m - 1); ( n = m )
f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )
看了这个，代码就很简单了
动态规划法：
数组dp[N][M]表示N为被划分数，M为划分数的最大值，此题M==N，故即求dp[N][N];
1>状态转移方程：
dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M];
该怎样理解呢？这里分两步：
Step 1:所划分的最大数不包括M，即每个划分数都是小于M的，此时总数为dp[N][M-1].
Step 2:所划分的最大数包括M，那么这一步被划分数就应该减去一个M，此时总数为dp[N-M][M].
到这里就是完整的思路了，应该注意的是上面的划分，划分数里有重复的数，那么如果要求划分数没有重复的呢，该怎样求呢？
这里的状态转移方程和上面就有点细微区别了.先来看看方程：
2>dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M-1];
其实联系1中的步骤就不难理解了，同样分为两步：
Step 1:所划分的最大数不包括M，即每个划分数都是小于M的，此时总数也是dp[N][M-1].
Step 2:所划分的最大数包括M，那么划分就的相应的减去M，注意到不能重复，即M划分数出现的次数只能为1.所以M就得换成M-1了，即dp[N-M][M-1].
3>在拓展一下，要是划分的个数为确定的数呢？即dp[N][K].表示N被划分成K个数.
这时状态转移方程就为
dp[N][K]=dp[N-K][K]+dp[N-1][K-1].
应该这样理解：
Step 1:被划分的K个数中不包括1，那么就应该先自动的为其分配1，K个数共N-K，剩下的数自由分配，总能保证其值大于2，即dp[N-K][K].
Step 2:存在一个数为1的情况，此时剩下的N-1分给K-1个数，即dp[N-1][K-1].
代码1(递归)：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <set>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 10000007
#define debug() puts("what the fuck!!!")
#define ll long long
using namespace std;
int f(int n,int m)//f(n,m)定义的是n的m划分，m是能组成n的数中的最大值
{
if(n==1||m==1) return 1;
if(n==m) return f(n,n-1)+1;
if(n<m) return f(n,n);
if(n>m) return f(n-m,m)+f(n,m-1);
}
int main()
{
int t,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",f(n,n));
}
return 0;
}
代码2（DP）：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <set>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 10000007
#define debug() puts("what the fuck!!!")
#define ll long long
using namespace std;
int dp[15][15];//dp[n][m],n为被划分数，m为划分数中的最大值
int main()
{
int t,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
mem(dp,0);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)
dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
else if(i<j)
dp[i][j]=dp[i][i];
else if(i>j)
dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
}
}
printf("%d\n",dp[n][n]);
}
return 0;
}
