NOIP2017Day1T1-小凯的疑惑

1．小凯的疑惑 

(math.cpp/c/pas) 

【问题描述】  

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。 

【输入格式】 

输入文件名为math.in。 

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。 

【输出格式】 

输出文件名为math.out。 

输出文件仅一行，一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。 

【输入输出样例1】 

math.in  

3 7 

math.out 

11

见选手目录下的math/math1.in和math/math1.ans。 

【输入输出样例1说明】 

小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1、2、4、5、8、11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比 11 贵的物品都能买到，比如：  

12 = 3 * 4 + 7 * 0     

13 = 3 * 2 + 7 * 1     

14 = 3 * 0 + 7 * 2   

15 = 3 * 5 + 7 * 0 

…… 

【输入输出样例2】 

见选手目录下的math/math2.in和math/math2.ans。 

【数据规模与约定】 

对于 30%的数据： 1 ≤ a，b ≤ 50。 

对于 60%的数据： 1 ≤ a，b ≤ 10,000。 

对于 100%的数据：1 ≤ a，b ≤ 1,000,000,000。 

题解：第一眼看到——什么鬼？今年Day1T1贼难！想了10分钟，无解，于是先做第二题。做好第二题再看一遍，模拟了一下样例，又搞了几个小样例，又看了10分钟，突然灵光一闪，发现规律——ans=a*b-a-b。于是十分高兴，用暴力对拍了一下，发现没错，就开开心心地AC了第一题了！代码就五行，发现最重要！（话说似乎这是NOIP第一次出Θ(1)的题吧）

这边给出证明。

定理: 对于正整数$p$ , $q$满足$gcd(p, q) = 1$, 我们有$px + qy = n$ 无非负整数解的最大正整数$n$ 为$pq - p - q$ . 证明如下:

我们首先利用反证法, 证明$px + qy$≠ $pq - p - q$ : 我们假设存在正整数$x$ 和$y$ 使得$px + qy = pq - p - q$ , 则有

$px + qy = pq - p - q$

$p(x + 1) + q(y + 1) = pq$

$\because gcd(p, q) = 1,p | q(y + 1)$

$\therefore p | y + 1$

同理,$q | x + 1$

接着我们令$y + 1 = pj$ , $x + 1 = qk$ . 则有

$pqk + qpj = pq$

$pq(j + k) = pq$

注意到$x, y$≥$0$ , 我们有y+1≥1 且x+1≥1 , 因而j≥1 且k≥1 . 因而j+k≥2 , 因而假设不成立.

得证.

Code：

var a,b:int64;
begin
  readln(a,b);
  writeln((a*b)-a-b);
end.