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题目描述
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。
输入输出格式
输入格式：
输入数据仅一行，包含两个正整数
a
a 和
b
b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手 中金币的面值。
输出格式：
输出文件仅一行，一个正整数
N
N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
输入输出样例
输入样例#1： 复制
3 7
输出样例#1： 复制
11
说明
【输入输出样例 1 说明】
小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1、 2、4、5、8、11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比 11 贵的物品都能买到，比如：
12 = 3 \times 4 + 7 \times 0
12=3×4+7×0
13 = 3 \times 2 + 7 \times 1
13=3×2+7×1
14 = 3 \times 0 + 7 \times 2
14=3×0+7×2
15 = 3 \times 5 + 7 \times 0
15=3×5+7×0
【数据范围与约定】
对于 30%的数据：
1 \le a,b \le 50
1≤a,b≤50。
对于 60%的数据：
1 \le a,b \le 10^4
1≤a,b≤104。
对于 100%的数据：
1 \le a,b \le 10^9
1≤a,b≤109。
说明
这个做法是我在考场上想出来的 ex_gcd 做法，当时并没有想到打表，所以向发表一下让大家彻底摆脱小学奥数带来的阴影，我现在仍然认为，ex_gcd 是这道题的标算。
题解
首先，我们发现这两个数是互质的，并且有无限个。很容易想到不定方程
ax + by = gcd(a, b)
ax+by=gcd(a,b) ，其中
gcd(a, b) = 1
gcd(a,b)=1 。
然后我们考虑，对于所有可行的能被
a
a 和
b
b 表示出来的数
k
k ，都存在
x \geq 0, y \geq 0,ax + by = k
x≥0,y≥0,ax+by=k。
现在我们要构造的是最大的不合法的数，显然，这个数
- 1
+1 一定是一个合法的数，转化成了求最大的减一后不合法的数。
由于这个数
k
k 一定是合法的，所以满足性质
\exists x \geq 0, \exists y \geq 0,ax + by = k
∃x≥0,∃y≥0,ax+by=k
那么如果
k-1
k−1 合法，那么
k - 1
k−1 可以表示成
a \left ( x - x’ \right ) + b \left ( y - y’ \right ) = k
a(x−x′)+b(y−y′)=k
或
a \left ( x - x” \right ) + b \left ( y - y” \right ) = k
a(x−x′′)+b(y−y′′)=k
其中
x’,y’
x′,y′ 表示
ax + by = 1
ax+by=1 的
x
x 最小且非负的整数解;
x”,y”
x′′,y′′ 表示
ax + by = 1
ax+by=1 的
y
y 最小且非负的整数解。
那么现在只需要让
x - x’< 0
x−x′<0 并且
y - y” < 0
y−y′′<0 即可
那么最后的最大的减一后不合法的数就是
a \left ( x’ - 1 \right ) + b \left ( y” - 1 \right )
a(x′−1)+b(y′′−1)
那么最后的答案就是
a \left ( x’ - 1 \right ) + b \left ( y” - 1 \right ) - 1
a(x′−1)+b(y′′−1)−1
证明：
首先充分性成立。
然后证明必要性：若
a \left ( x’ - 1 \right ) + b \left ( y” - 1 \right )
a(x′−1)+b(y′′−1)不是最大的减一后不合法的数，那么一定存在一个更大的数，显然该数的
a
a 的系数大于
x’ - 1
x′−1 或
b
b 的系数大于
y” - 1
y′′−1 （如果都小于等于，那么该数不会比当前数大）。显然，减一后仍然是合法的。所以必要性成立。
综上，
a(x′−1)+b(y″−1)−1
a
(
x
′
−
1
)
+
b
(
y
″
−
1
)
−
1
a(x′−1)+b(y′′−1)−1 是最大的不合法的数。
