python机器学习案例系列教程——最小生成树（MST）的Prim算法和Kruskal算法

全栈工程师开发手册 （作者：栾鹏）
python数据挖掘系列教程​​

最小生成树MST

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

也就是说，用原图中有的边，连接n个节点，保证每个节点都被连接，且使用的边的数目最少。

最小权重生成树

在一给定的无向图$G = (V, E)

$中，$

(u, v)

$代表连接顶点$

u $与顶点 $v $的边（即），而 $w(u, v) $代表此边的权重，若存在 $T

$为$

$w(t)=\sum_{(u,v)\in t}w(u,v)$

的$ w(T) $最小，则此

$T$

为

$G$

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

应用：

例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树

Prim算法

1)、输入：一个加权连通图，其中顶点集合为

$V$

，边集合为

$E$

；

2)、初始化：

$V_{new}= \{x\}$

，其中

$x$

为集合

$V$

中的任一节点（起始点），

$E_{new}= \{\}$

,为空；

3)、重复下列操作，直到

$V_{new}= V$

：

• a.在集合

$E$

• 中选取权值最小的边

$<u, v>$

• ，其中

$u$

• 为集合

$V_{new}$

• 中的元素，而

$v$

• 不在

$V_{new}$

• 集合当中，并且

$v∈V$

• （如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
• b.将

$v$

• 加入集合

$V_{new}$

• 中，将

$<u, v>$

• 边加入集合

$E_{new}$

• 中；

4)、输出：使用集合

$V_{new}$

和

$E_{new}$

来描述所得到的最小生成树

Kruskal算法简述

假设 $W_N=(V,{E}) $是一个含有n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集

$E$

循环中可加入已加入MST的点的数量的判断，有可能提前结束循环，提高效率。

下面是hdu1233的源代码，一个用Prim算法，另一个用Kruskal，标准的MST问题。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef int weight_t; 

#define SIZE 101

int N;

//图的邻接矩阵
weight_t Graph[SIZE][SIZE];

//各顶点到中间结果的最短距离，始终维护
weight_t D[SIZE];

//标志位
bool Flag[SIZE];

//Prim算法，返回MST的长度
weight_t Prim(){
  //初始化数组
  fill(D,D+SIZE,INT_MAX);
  fill(Flag,Flag+SIZE,false);

  //初始化第一个计算的点
  D[1] = 0;

  weight_t ans = 0;

  for(int i=1;i<=N;++i){
    //找出距离中间结果最近的点
    int k = -1;
    for(int j=1;j<=N;++j)
      if ( !Flag[j] && ( -1 == k || D[j] < D[k] ) )
        k = j;

    //将k点加入中间结果
    Flag[k] = true;
    ans += D[k];

    //更新剩余点到中间结果的最短距离
    for(int j=1;j<=N;++j)
      if ( !Flag[j] && Graph[k][j] < D[j] )
        D[j] = Graph[k][j];
  }

  return ans;
}

bool read(){
  scanf("%d",&N);
  if ( 0 == N ) return false;
  
  for(int i=0;i<N*(N-1)/2;++i){
    int a,b,w;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
    Graph[a][b] = Graph[b][a] = w;
  }
  
  return true;
}

int main(){
  while( read() ){
    printf("%d\n",Prim());
  }
  return 0;
}

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef int weight_t; 

#define SIZE 101

//并查集结构
int Father[SIZE];
void init(int n){for(int i=0;i<=n;Father[i]=i++);}
int find(int x){return Father[x]==x?x:Father[x]=find(Father[x]);}
void unite(int x,int y){Father[find(y)]=Father[find(x)];}

int N;

//边结构
struct edge_t{
  int s;
  int e;
  weight_t w;
}Edge[SIZE*SIZE/2];
int ECnt = 0;

//重载，用于边排序
bool operator < (edge_t const&lhs,edge_t const&rhs){
  if ( lhs.w != rhs.w ) return lhs.w < rhs.w;
  if ( lhs.s != rhs.s ) return lhs.s < rhs.s;
  return lhs.e < rhs.e;
}

//生成边
inline void mkEdge(int a,int b,weight_t w){
  if ( a > b ) swap(a,b);

  Edge[ECnt].s = a;
  Edge[ECnt].e = b;
  Edge[ECnt++].w = w;
}

//Kruskal算法，vn是点的数量，en是边的数量，返回MST的长度
weight_t Kruskal(int vn,int en){
  init(vn);//并查集初始化
  sort(Edge,Edge+en);//边排序

  weight_t ans = 0;
  for(int i=0;i<en;++i){
    //该边已存在于MST中
    if ( find(Edge[i].s) == find(Edge[i].e) )
      continue;

    //将该边加入MST
    ans += Edge[i].w;
    unite(Edge[i].s,Edge[i].e);
    --vn;

    //MST已完全生成
    if ( 1 == vn ) break;
  }

  return ans;
}

bool read(){
  scanf("%d",&N);
  if ( 0 == N ) return false;
  
  ECnt = 0;
  for(int i=0;i<N*(N-1)/2;++i){
    int a,b,w;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
    mkEdge(a,b,w);
  }
  
  return true;
}

int main(){
  while( read() ){
    printf("%d\n",Kruskal(N,ECnt));
  }
  return 0;
}