机器学习算法----支持向量机SVM (软间隔、核函数、拉格朗日乘子法) (学习笔记)

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昨天整理了一下聚类算法的笔记----------各种聚类算法总结

今天整理一下同为分类的另一个算法（有监督）:
支持向量机(Support Vector Machine)

距离计算

分类都绕不开一个问题就是样本间距离的计算，看下面这张图。

显然右边分隔线的间距更大，更加有容错率。

如何计算距离？

下图是一张三维图。

假设样本点为$X$，灰色的纸面是分割面，类似于上面的二维图中的分割线。$X'$ $X''$

如何求样本点$X$ 到风格面的距离呢？显然可以直接垂直求点到面的距离dist。不过这样较为复杂，可以先求$X$到点$X'$

参考公式：

法向量除以自身的模=单位方向向量

将式子展开， 有

• $\frac {1}f {||W||}(W^TX-W^TX')$
• 因为$X'$$X''$都是平面上的点，故有:

• $WX'+B=0$
• $W^TX' = -b$. 。记为(3)式

• 将(3)式代入(1)式中，最终得到:$\frac {1} {||W||}|(W^TX+b)|$

优化目标

再来看一下刚开始的那张图

要达到右边的目的，用一句话描述:我们要找到一条线，使得离该线最近的点距离最远！！

上面那句话多读两遍，配合图看，理解清楚，这就是最终要最到的目的。

现在假设一个数据集来推出最后的目标优化公式:
(X1,Y1),(X2,Y2)…

Y为样本类别 X为正例时Y = 1 反之为 Y = -1。

既:

这样操作过后就可以去掉一开始距离公式中的绝对值了。将公式化简得到:

得到优化目标公式:

再把上面那句话贴过来,

我们要找到一条线，使得离该线最近的点距离最远!

min那里一大串都是等于>=1的（放缩，令其>=1），最小值就是1了，所以满足条件下最终考虑目标优化公式:

• $argmax \frac{1}{||W||}$

既求 $||W||$

化简模向量 $||W||$ = $W^2$

拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法求 ：求带约束条件下的极值问题。

这里的约束条件就是上面求优化目标的时候 ，放缩过程令那min那块>=1 的那一部分:就是下面这一块

约束条件

求解过程基本思路就是，引入了一个新的变量设为a，找到a和原始要求的w与b之间的关系，然后将a替换掉原始式子中的w和b，并求出a，再将wb代回。

原子转换公式:

代入:

其中i代表数据中的每一个样本。

对目标参数w和b求偏导，看到这有一个KKT的问题，我尝试看了看没看懂，劝退了。

​​关于KKT对偶问题​​

软间隔(soft-margin)

看下面这张图。
左边有60个数据样本，右边有120个数据样本，但是分割线却没发生改变。

说明真正发挥作用的数据点是距离分割线最近的那几个点。

也印证了为啥叫支持向量机。起到支撑 支持构建中间的分割向量的数据的点。

在看下面这张图，

显然有一个异常点(离群点),如果考虑该异常点，则导致分割线不是那么好，如果不考虑就是图中的虚线，这个虚线是比较好的。所以有了软间隔。

加入软间隔的目的就是希望模型别太受到异常点(噪音)的影响。
所以引入了一个叫松弛因子的东西，给分割线一些容忍度。

就有了加入松弛因子之后的目标参数:
A上面说过了，B部分就是引入的松弛因子。

其中C参数越小，意味着有越大的容忍度。

核函数

前面得到了一个目标优化公式,就是下面这个:

这里面有一个参数，就是 Φ参数（核函数）。
看下面这个图，如果在二维平面上分开红蓝点，所描绘出来的分割线是比较难的(过拟合、复杂计算量)，于是通过了 Φ 将他变成了三维上，用一张纸(平面)就分开了。

高斯核函数(应用最广泛，可无脑用):
是一个非线性决策边界。

式子展开就是泰勒基数。无限逼近嘛，所以这里面有个调参 就分母上的那个西格玛，调的越大，就越复杂，过拟合风险越高。

学习参考

KKT对偶问题:​​https://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/convexopt/lectures/kkt.pdf​​

拉格朗日乘子法​