旋转矩阵的正交分解

旋转矩阵的正交分解是指将一个旋转矩阵表示为一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。
具体来说，对于一个 n * x 的旋转矩阵 ( R )，其正交分解可以表示为：

$R^T = Q \text{diag}(R(\theta_1), R(\theta_2), ..., R(\theta_r), 1, ..., 1) Q$

$这里， Q 是一个 n \times n 的正交矩阵，而 \text{diag}(R(\theta_1), R(\theta_2), ..., R(\theta_r), 1, ..., 1) 是一个对角矩阵，\\ 其中 R(\theta_j) = \begin{pmatrix} \cos{\theta_j} & -\sin{\theta_j} \\ \sin{\theta_j} & \cos{\theta_j} \end{pmatrix} 表示二维旋转矩阵，对应于旋转角 \theta_j ，\\且 r 是矩阵 R 的实秩（在三维空间中， r=1 因为旋转只涉及到一个自由度，即旋转角）。\\对角矩阵中除了前 r 个非零元素外，其余元素均为1，以填充到 n \times n 的维度。$

$在三维空间中，旋转矩阵 R 可以通过指定一个旋转轴（单位向量 \vec{t} ）和一个旋转角度 \theta 来定义，其形式为：$

$R = \cos{\theta}I + (1-\cos{\theta})\vec{t}\vec{t}^T + \sin{\theta}[\vec{t}]_{\times}$

$其中 I 是单位矩阵， [\vec{t}]_{\times} 是由向量 \vec{t} 构成的反对称矩阵，代表绕 \vec{t} 的旋转操作。$
因此，对于三维旋转矩阵 ( R )，正交分解实质上是将旋转操作分解为一个正交基变换（由 ( Q ) 完成），使得旋转可以被视为沿着新坐标系的某一个轴进行简单旋转，然后通过对角矩阵来实际执行这个旋转。

在更一般的情况下，旋转矩阵的正交分解揭示了其内在结构，即将旋转操作分解为一系列基本的正交变换，这对于理论理解和数值计算都有重要意义。