对称矩阵的正交分解

对称矩阵的正交分解是指将一个实对称矩阵 (A) 分解为一个正交矩阵 (Q) 和一个对角矩阵 Λ 的乘积
$即 A = Q \Lambda Q^T$
这里的 (Q) 是由 (A) 的标准化特征向量作为列向量组成的正交矩阵，而 Λ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素是 (A) 的特征值。

步骤说明及具体例子

考虑一个 2 * 2 的对称矩阵 (A) 作为例子：

$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

步骤 1: 计算特征值和特征向量

首先，我们需要找到矩阵 (A) 的特征值和对应的特征向量。

• 计算特征值：$解方程 \det(A - \lambda I) = 0，其中 I 是单位矩阵。$

$对于 A，特征多项式为 \lambda^2 - 5\lambda + 3，解得特征值 \lambda_1 = 3 和 \lambda_2 = 1。$

• 找到特征向量：$对于每个特征值 \lambda_i，解方程 (A - \lambda_i I)v_i = 0 来找到对应的特征向量 v_i。$

• $对于 \lambda_1 = 3：\\ (A - 3I)v_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}v_1 = 0$
  $解得 v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}（忽略比例因子，可以选择使其成为单位向量）。$
• $对于 \lambda_2 = 1：\\ (A - I)v_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}v_2 = 0$
  $解得 v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}（同样，可以选择使其成为单位向量）。$

步骤 2: 构造正交矩阵 (Q) 和对角矩阵 Λ

• 正交化特征向量并单位化：由于对称矩阵的特征向量本就正交，我们只需要将它们单位化即可。$所以，v_1和 v_2 已经正交，我们将其单位化：$
  $q_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \\ -1/\sqrt{5} \end{pmatrix}, \quad q_2 = \frac{v_2}{||v_2||} = \begin{pmatrix} -2/\sqrt{13} \\ 3/\sqrt{13} \end{pmatrix}$
  然后，用这些向量作为列向量构造正交矩阵 (Q)：
  $Q = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} & -2/\sqrt{13} \\ -1/\sqrt{5} & 3/\sqrt{13} \end{pmatrix}$
• 构造对角矩阵 (\Lambda)：将特征值放在对角线上：
  $\Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

步骤 3: 验证分解

$最后，验证 A = Q \Lambda Q^T 是否成立。$这个验证过程较为繁琐，但在理论上，如果按照上述步骤正确执行，应当能够还原原始矩阵 (A)。