度矩阵和邻接矩阵

度矩阵 (D) 和邻接矩阵 (A) 是如何定义和构建的。

无向图的例子

假设我们有一个无向图 (G)，包含4个顶点 (V={1,2,3,4})，以及以下边集 (E)：

• 顶点1与顶点2相连
• 顶点1与顶点3相连
• 顶点2与顶点4相连
• 顶点3与顶点4相连

邻接矩阵 (A)

$邻接矩阵 A 是一个 n \times n 的方阵（其中 n 是顶点的数量），矩阵中的元素 A_{ij} 表示顶点 i 和顶点 j 是否由一条边相连。对于无向图，邻接矩阵是对称的，即 A_{ij} = A_{ji}。在这个例子中，邻接矩阵 A 如下所示：$

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

这里，矩阵的对角线元素都是0，因为一个顶点不会与自己相连；非对角线上的1表示两个顶点之间有边相连。

度矩阵 (D)

$度矩阵 D 是一个 n \times n 的对角矩阵，其中对角线上的元素 D_{ii} 表示顶点 i 的度，即与顶点 i 相邻的边的数量。对于上面的图，度矩阵 D 如下所示：$

$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

在这个例子中，每个顶点的度都是2，因为图中的每个顶点都有两条边相连。

有向图的例子

如果考虑一个有向图，邻接矩阵的构造方式相同，但不一定对称，因为有向边的存在不意味着反方向也有边。

假设有一个有向图，同样有4个顶点，边集为：

• 顶点1指向顶点2
• 顶点1指向顶点3
• 顶点2指向顶点4
• 顶点3指向顶点4

邻接矩阵 (A)

对于这个有向图，邻接矩阵 (A) 可能是：

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

注意，与无向图相比，这里的 (A) 不再是对称的，因为有向边的存在是单向的。

度矩阵 (D)

度矩阵依然记录每个顶点的度数，但在这里我们需要区分入度和出度。
通常的度矩阵关注的是顶点的总度数（出度+入度），但在有向图中，如果我们只考虑出度，度矩阵 (D) 将会是：.
这里注意，若有声明出度矩阵（入度矩阵），则按照要求即可。
下例表示出度
$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

这里，顶点1有两条出边，顶点3、顶点2有一条出边，而顶点4没有出边。如果是计算入度矩阵，则相应的对角线元素会反映每个顶点的入边数量。