算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如: 6936=23×3×172，1200=24×3×52 6936 = 2 3 × 3 × 17 2 ， 1200 = 2 4 × 3 × 5 2 。
算术基本定理的内容由两部分构成：
1. 分解的存在性：
2. 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。
N=pa11∗pa22∗pa33⋯∗pann=∏i=1npaii N = p 1 a 1 ∗ p 2 a 2 ∗ p 3 a 3 ⋯ ∗ p n a n = ∏ i = 1 n p i a i
这里
p1<p2<p3<⋯<pn
p
1
<
p
2
<
p
3
<
⋯
<
p
n
且均为质数，其中指数
ai
a
i
是正整数
定理应用
N的正因数个数
一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为N=pa11pa22pa33⋯pann
N
=
p
1
a
1
p
2
a
2
p
3
a
3
⋯
p
n
a
n
那么N的正因数个数为
σ0(N)=(1+a1)(1+a2)⋯(1+an) σ 0 ( N ) = ( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) ⋯ ( 1 + a n )
所以N的正因子个数为： 所 以 N 的 正 因 子 个 数 为 ：
σ(N)=∏i=1n(1+ai) σ ( N ) = ∏ i = 1 n ( 1 + a i )
N的全体正因数之和为
σ(N)=(1+p1+p21+⋯+pa11)(1+p2+p22+⋯+pa22)⋯(1+pn+p2n+⋯+pann) σ ( N ) = ( 1 + p 1 + p 1 2 + ⋯ + p 1 a 1 ) ( 1 + p 2 + p 2 2 + ⋯ + p 2 a 2 ) ⋯ ( 1 + p n + p n 2 + ⋯ + p n a n )
σ(N)=(pa1+11−1p1−1)(pa2+12−1p2−1)(pa3+13−1p3−1)⋯(pan+1n−1pn−1) σ ( N ) = ( p 1 a 1 + 1 − 1 p 1 − 1 ) ( p 2 a 2 + 1 − 1 p 2 − 1 ) ( p 3 a 3 + 1 − 1 p 3 − 1 ) ⋯ ( p n a n + 1 − 1 p n − 1 )
σ(N)=∏ni=1pai+1i−1pi−1 σ ( N ) = ∏ i = 1 n p i a i + 1 − 1 p i − 1
所以N的全体正因子之和为： 所 以 N 的 全 体 正 因 子 之 和 为 ：
σ(N)=∏i=1npai+1i−1pi−1 σ ( N ) = ∏ i = 1 n p i a i + 1 − 1 p i − 1
举个例子：
12=22∗31=pa11∗pa22(p1=2a1=2p2=3a2=1)
12
=
2
2
∗
3
1
=
p
1
a
1
∗
p
2
a
2
(
p
1
=
2
a
1
=
2
p
2
=
3
a
2
=
1
)
而12的因子有1,2,3,4,6,12
而
12
的
因
子
有
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
12
1=20∗30
1
=
2
0
∗
3
0
2=21∗30
2
=
2
1
∗
3
0
3=20∗31
3
=
2
0
∗
3
1
4=22∗30
4
=
2
2
∗
3
0
6=21∗31
6
=
2
1
∗
3
1
12=22∗31
12
=
2
2
∗
3
1
左边加起来=1+2+3+4+6+12=28=(20+21+22)∗(30+31)=右边 左 边 加 起 来 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 = ( 2 0 + 2 1 + 2 2 ) ∗ ( 3 0 + 3 1 ) = 右 边
(20+21+22) ( 2 0 + 2 1 + 2 2 )
(30+31) ( 3 0 + 3 1 )
因为我们对n进行算数分解 所以不可能出现公比为1的情况
根据等比数列求和公式 (1−qn)/(1−q) ( 1 − q n ) / ( 1 − q )
分子分母同时乘−1(qn−1)/(q−1) − 1 ( q n − 1 ) / ( q − 1 )
因为第一项是从0
0
开始的 所以 对于paiipiai 它的前n项和为(pai+1i−1)/(pi−1)
(
p
i
a
i
+
1
−
1
)
/
(
p
i
−
1
)
所
σ(N)=∏ni=1pai+1i−1pi−1
σ
(
N
)
=
∏
i
=
1
n
p
i
a
i
+
1
−
1
p
i
−
1
求1到n的因子和的和
公式：
ans=σ(1)+σ(2)+σ(3)+⋯+σ(n) a n s = σ ( 1 ) + σ ( 2 ) + σ ( 3 ) + ⋯ + σ ( n )
这里以n=12
n
=
12
为例：
1:1
1
:
1
2:1,2
2
:
1
,
2
3:1,3
3
:
1
,
3
4:1,2,4
4
:
1
,
2
,
4
5:1,5
5
:
1
,
5
6:1,2,3,6
6
:
1
,
2
,
3
,
6
7:1,7
7
:
1
,
7
8:1,2,4,8
8
:
1
,
2
,
4
,
8
9:1,3,9
9
:
1
,
3
,
9
10:1,2,5,10
10
:
1
,
2
,
5
,
10
11:1,11
11
:
1
,
11
12:1,2,3,4,6,12
12
:
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
12
则
ans=σ(1)+σ(2)+σ(3)+⋯+σ(12)
a
n
s
=
σ
(
1
)
+
σ
(
2
)
+
σ
(
3
)
+
⋯
+
σ
(
12
)
ans=12∗1+6∗2+4∗3+3∗4+2∗5+2∗6+1∗7+1∗8+1∗9+1∗10+1∗11+1∗12 a n s = 12 ∗ 1 + 6 ∗ 2 + 4 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + 2 ∗ 5 + 2 ∗ 6 + 1 ∗ 7 + 1 ∗ 8 + 1 ∗ 9 + 1 ∗ 10 + 1 ∗ 11 + 1 ∗ 12
ans=∑ni=1n/i∗i a n s = ∑ i = 1 n n / i ∗ i (这里n/i n / i 是整除的意思)
然后我们这样看
ans=12∗1+6∗2+4∗3+3∗4+2∗(5+6)+1∗(7+8+9+10+11+12)
a
n
s
=
12
∗
1
+
6
∗
2
+
4
∗
3
+
3
∗
4
+
2
∗
(
5
+
6
)
+
1
∗
(
7
+
8
+
9
+
10
+
11
+
12
)
则对于每一个 n/i n / i
n/i
n
/
i
范围[l,r]
[
l
,
r
]
当前n/i
n
/
i
在范围内 对ans
a
n
s
的贡献是
12[1,1]12∗1
12
[
1
,
1
]
12
∗
1
6[2,2]6∗2
6
[
2
,
2
]
6
∗
2
4[3,3]4∗3
4
[
3
,
3
]
4
∗
3
3[4,4]3∗4
3
[
4
,
4
]
3
∗
4
2[5,6]2∗(5+6)
2
[
5
,
6
]
2
∗
(
5
+
6
)
1[7,12]1∗(7+8+−−−+12)
1
[
7
,
12
]
1
∗
(
7
+
8
+
−
−
−
+
12
)
可以发现 每一个l l 等于上一个r+1 r + 1 而r=n/(n/l) r = n / ( n / l ) 这里是整除
求1到n的因子个数的和
还是以n=12 n = 12 为例
i: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
因子个数 | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 |
ans=τ(1)+τ(2)+τ(3)+τ(4)+τ(5)+τ(6)+τ(7)+τ(8)+τ(9)+τ(10)+τ(11)+τ(12)
a
n
s
=
τ
(
1
)
+
τ
(
2
)
+
τ
(
3
)
+
τ
(
4
)
+
τ
(
5
)
+
τ
(
6
)
+
τ
(
7
)
+
τ
(
8
)
+
τ
(
9
)
+
τ
(
10
)
+
τ
(
11
)
+
τ
(
12
)
ans=1+2+2+3+2+4+2+4+3+4+2+6
a
n
s
=
1
+
2
+
2
+
3
+
2
+
4
+
2
+
4
+
3
+
4
+
2
+
6
ans=1∗1+2∗5+3∗2+4∗3+6∗1
a
n
s
=
1
∗
1
+
2
∗
5
+
3
∗
2
+
4
∗
3
+
6
∗
1
ans=∑ni=1(ni)
a
n
s
=
∑
i
=
1
n
(
n
i
)
GCD和LCM
利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子gcd(a,b)
g
c
d
(
a
,
b
)
和最小公倍数lcm(a,b)
l
c
m
(
a
,
b
)
将a和b写成
a=pa11pa22pa33⋯pann a = p 1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 ⋯ p n a n
b=pb11pb22pb33⋯pbnn b = p 1 b 1 p 2 b 2 p 3 b 3 ⋯ p n b n
所以a和b的最大公因数与最小公倍数可以写成这个形式，也可以由下边这个形式求得 所 以 a 和 b 的 最 大 公 因 数 与 最 小 公 倍 数 可 以 写 成 这 个 形 式 ， 也 可 以 由 下 边 这 个 形 式 求 得
gcd(a,b)=pmin(a1,b1)1pmin(a2,b2)2pmin(a3,b3)3⋯pmin(an,bn)n g c d ( a , b ) = p 1 m i n ( a 1 , b 1 ) p 2 m i n ( a 2 , b 2 ) p 3 m i n ( a 3 , b 3 ) ⋯ p n m i n ( a n , b n )
lcm(a,b)=pmax(a1,b1)1pmax(a2,b2)2pmax(a3,b3)3⋯pmax(an,bn)n l c m ( a , b ) = p 1 m a x ( a 1 , b 1 ) p 2 m a x ( a 2 , b 2 ) p 3 m a x ( a 3 , b 3 ) ⋯ p n m a x ( a n , b n )
未完待续…
