Uva 11395 - Sigma Function （算术基本定理）

从单个数字看，它的因子和与素因子的指数相关。由

奇数+奇数=奇数

奇数*偶数=偶数

我们得到结论，如果因子和是偶数，那么至少有一个

  是奇数. 

即对于数字N的判断：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+10;
bool vis[N];
vector<int> prim;
int cnt=0;
void getprim(){
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]) prim.push_back(i);
        cnt=prim.size();
        for(int j=0;j<cnt&&i*prim[j]<N;j++){
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    getprim();
    int T,ca=1;
    LL n;
    scanf("%lld",&n);
    bool tag=0;
    for(int i=0;i<cnt&&prim[i]<=n;i++){
        if(n%prim[i]==0){
            int pow=0;
            while(n%prim[i]==0) {
                pow++;
                n/=prim[i];
            }
            if(prim[i]>2&&(pow&1)){
                tag=1;
                break;
            }
        }
    }
    if(tag==0) puts("奇数");
    else puts("偶数");
    return 0;
}

但是本题的N数据很大，遍历判断显然不行。

只能从宏观上看，试着由N直接判断问题的解。

反过来想，什么时候因子和是奇数呢？

由前面的分析，当除2外的所有的素因子的指数都是偶数的时候，因子和就是奇数。

”除2外的所有的素因子的指数都是偶数“ 意味着它是一个平方数，或者2*平方数. 当只有2这个素因子时，它无论怎样都是奇数，不过它也可以归结于上面的两种情况。

所以，写成这样：

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
    int T,ca=1;
    LL n;
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        LL p1=(LL)sqrt(1.0*n);
        LL p2=(LL)sqrt(n/2.0);
        printf("Case %d: %lld\n",ca++,n-p1-p2);
    }
    return 0;
}