1.公式总览:
①连续自然数的平方和 a[i]=i^2,S(n)=n*(n+1)(n*2+1)/6;
②连续自然数的立方和 a[i]=i^3,S(n)=(n*(n+1)/2)^2;
③连续偶数的平方和 a[i]=(2*i)^2,S(n)=n*(n+1)*(n*2+1)*2/3;
④连续奇数的平方和 a[i]=(2*i-1)^2,S(n)=n*(n*2-1)*(n*2+1)/3;
2*n^2*(n+1)^2;
⑥连续奇数的立方和 a[i]=(2*i-1)^3,S(n)=n^2*(2*n^2-1);
二、公式证明:
用Sn代表从1开始的连续自然数的n次方的和。
①http://www.pep.com.cn/gzsxb/xszx/jtzd/201009/t20100928_916091.htm
①证明方法里的第四种方法可证。
这里就不再单独给出证明。
用①证明方法里的第四种方法,还何以求出连续自然数的4次方、5次方等等的和。
③a[i]=(2*i)^2=4*i^2;
s=4*S2
n*(n+1)*(n*2+1)*2/3;
④a[i]=(2*i-1)^2=4*i^2-4*i+1
s=4*S2-4*S1+n
(n)=n*(n*2-1)*(n*2+1)/3;
⑤a[i]=(2*i)^3=8*i^3;
s=8*s3
=2*n^2*(n+1)^2;
⑥a[i]=(2*i-1)^3=8*i^3-12*i^2+6*i-1;
s=8*S3-12S2+6S1-n
n^2*(2*n^2-1);
以上平方和与立方和的公式及推导证明旨在给大家一个启发,能够举一反三,在遇到求n次方的和的时候能有法可循。实际上,只要记住S1、S2、S3的求和公式,其他的公式再掌握推导方法后,都是很快就可以算出来的。真正重要需要记住的也只是这三个公式而已。
例题链接:hdoj2007
要注意避免计算过程中超出long long的范围。