算法笔记 9.7 堆

9.7.1 堆的定义与基本操作

堆是一棵完全二叉树，树中每个结点的值都不小于(或不大于)其左右孩子结点的值。
大顶堆:父节点值>=孩子结点的值    此时父节点的值为子树最大
小顶堆:父节点值<=孩子结点的值    此时父节点的值为子树最小
(堆一般用优先队列实现，而优先队列默认大顶堆，一下仅讨论大顶堆)

定义及向下调整代码：

const int maxn=100;
//heap数组存储堆 n为实际数组元素个数
int heap[maxn],n=10;

//单个结点的向下调整  O(logn)
//对heap下标为low的结点进行调整 high为数组中最后一个元素下标
void downAdjust(int low,int high){
  int i=low,j=low*2;//i为欲调整的下标   j为左孩子
  while(j<high){//有左孩子
    //注意 先判断j+1<high
    if(j+1<high&&heap[j+1]>heap[j]) j++;//右孩子更大时j为右孩子下标
    if(heap[j]>heap[i]){
      swap(heap[i],heap[j]);//调整父子关系
      i=j;          //调整后可能还需要调整 处理i,j了
      j=i*2;          //注意每次初始i是欲调整的结点下标  而j是左孩子
    }else{
      //根就是最大的 直接break，不用调了
      break;//return也行  但是不能没有else分支 否则死循环
    }
  }
}

完全二叉树性质5、6:

5.叶子结点个数为[n/2] (n/2向上取整)  
6.非叶子结点下标范围[1,n/2] (1~n/2向下取整)

建堆代码

//建堆  一开始已经数组heap中已经有了初始序列 建堆只是调整一下数组中元素的位置而已
void CreateHeap(){
  //从下往上 第一个非叶子结点开始 向上调整
  //n为堆元素个数 全局变量
  for(int i=n/2;i>=1;i--){
    downAdjust(i,n);
  }
}

 

删除结点

删除堆中一个结点  也要考虑调整问题，但是删除后该位置空缺如何调整呢?
给出的策略是:最后一个元素来填空 然后n-- 然后向下调整被删结点位置即可

//删堆
//删除堆中一个结点  也要考虑调整问题，但是删除后该位置空缺如何调整呢?
//给出的策略是:最后一个元素来填空 然后n-- 然后向下调整被删结点位置即可
void DeleteHeap(int i){
  heap[i]=heap[n--];
  downAdjust(i,n);
}

 

向上调整

对heap数组在[low,high]范围内进行向上调整
low一般置为1 即整棵树的根，high为欲向上调整的结点下标

//插入结点
//向上调整
//对heap数组在[low,high]范围内进行向上调整
//low一般置为1 即整棵树的根，high为欲向上调整的结点下标
void upAdjust(int low,int high){
  int i=high,j=i/2;//i为欲调整下标  j为父亲结点
  while(j>=low){//父亲在[low,j]范围内  low为1时就整棵树前面的范围
    if(heap[j]<heap[i]){
      swap(heap[i],heap[j]);
      i=j;
      j=i/2;
    }else{
      break;
    }
  }
}

 

插入结点

即:插入元素放在数组最后，然后对最后一个结点向上调整即可

//插入结点 
void insert(int x){
  heap[++n]=x;
  upAdjust(1,n);
}

 

9.7.2堆排序

相当简单:由于堆顶元素最大，则建立完堆后(必须建立堆，否则更大的元素可能在调整没有走到的子树位置处)，先将堆顶元素交换到最后一个元素处(从小打到排序，则最后一个已经排好了，此时只用在1~n-1范围内继续处理堆即可)，然后对堆顶元素进行一次1~n-1范围内向下调整，堆顶一定又是次最大的元素(1~n-1的最大)，明显重复以上操作即可，当堆中只剩下一个元素，排序完成，完全二叉树又直接是数组存储，此时数组就已经有序了

不断反复即可

堆排序代码

//堆排序 n/2*logn+n*logn==O(nlogn)
void heapSort(){
  CreateHeap();//先要建立堆   即对非叶子结点都先分别做一次向下调整
  for(int i=n;i>1;i--){
    swap(heap[1],heap[i]);
    downAdjust(1,i-1);
  }
}

 

综合实例:

输入一列数字，堆排序后输出

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=100;
//heap数组存储堆 n为实际数组元素个数
int heap[maxn],n=10;

//单个结点的向下调整  O(logn)
//对heap下标为low的结点进行调整 high为数组中最后一个元素下标
void downAdjust(int low,int high){
  int i=low,j=low*2;//i为欲调整的下标   j为左孩子
  while(j<=high){//有左孩子  <=不是小于 high是最大元素下标
    //注意 先判断j+1<high
    if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]) j++;//右孩子时j为右孩子下标
    if(heap[j]>heap[i]){
      swap(heap[i],heap[j]);//调整父子关系
      i=j;          //调整后可能还需要调整 处理i,j了
      j=i*2;          //注意每次初始i是欲调整的结点下标  而j是左孩子
    }else{
      //根就是最大的 直接break，不用调了
      break;//return也行  但是不能没有else分支 否则死循环
    }
  }
}

//建堆  一开始已经数组heap中已经有了初始序列 建堆只是调整一下数组中元素的位置而已
void CreateHeap(){
  //从下往上 第一个非叶子结点开始 向上调整
  //n为堆元素个数 全局变量
  for(int i=n/2;i>=1;i--){
    downAdjust(i,n);
  }
}

//删堆
//删除堆中一个结点  也要考虑调整问题，但是删除后该位置空缺如何调整呢?
//给出的策略是:最后一个元素来填空 然后n-- 然后向下调整被删结点位置即可
void DeleteHeap(int i){
  heap[i]=heap[n--];
  downAdjust(i,n);
}

//向上调整
//对heap数组在[low,high]范围内进行向上调整
//low一般置为1 即整棵树的根，high为欲向上调整的结点下标
void upAdjust(int low,int high){
  int i=high,j=i/2;//i为欲调整下标  j为父亲结点  
  while(j>=low){//父亲在[low,j]范围内  low为1时就整棵树前面的范围
    if(heap[j]<heap[i]){
      swap(heap[i],heap[j]);
      i=j;
      j=i/2;//j=i/2 明显O(logn)
    }else{
      break;
    }
  }
}

//插入结点 
void insert(int x){
  heap[++n]=x;
  upAdjust(1,n);
}

//堆排序 n/2*logn+n*logn==O(nlogn)
void heapSort(){
  CreateHeap();//先要建立堆   即对非叶子结点都先分别做一次向下调整
  for(int i=n;i>1;i--){
    swap(heap[1],heap[i]);
    downAdjust(1,i-1);//heap[1]在i-1的范围内向下调整即可
  }
}

int main(){
  //千万注意 下标从1开始 范围是[1,n] 0下标不用
  for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];
  heapSort();
  //输出当然也是输出[1,n]
  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<" ";
  cout<<endl;
  return 0;
}

注意，若只是实现堆排序，实现downAdjust、CreateHeap和heapSort三个方法即可（其中upAdjust仅在插入时需要）