WOJ 654 递推+矩阵快速幂

654. A simple math problem

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Given a number $nn$, you should calculate $123456…11121314…n123456\ldots 11121314\ldots n$ module 11

Input

A single line with an integer $nn$ ($0<n≤10180 < n \le 10^{18}$)

Output

Output one integer, $123456…11121314…n123456\ldots 11121314\ldots n$ module 11

Examples

Input 1

1

Output 1

1

Input 2

20

Output 2

5

Input 3

21

Output 3

4

Note

$1≡1(mod11)1 \equiv 1 (\mod 11)$

$1234567891011121314151617181920≡5(mod11)1234567891011121314151617181920 \equiv 5 (\mod 11)$

$123456789101112131415161718192021≡4(mod11)123456789101112131415161718192021 \equiv 4 (\mod 11)$.

Source

第六届华中区程序设计邀请赛暨武汉大学第十五届校赛

         此题就是之前所说的，矩阵快速幂递推啦。我就真的很好奇，为什么当时想不到用矩阵快速幂……

        题目，很容易理解，输入一个n，把从1开始到n的所有数字连成一个数字，然后问这个数字模11的结果是什么。

        首先，显然会想到n的结果就是n-1的结果乘上n的位数加上n再模11。O(n)的算法，但是仍然会超时。于是我就开始了漫长的找规律之旅，然后发现这是个无底洞……自己手残经常敲错东西，然后有时又忘了改一些东西。然后中午没有吃东西，脑子一片混乱，总之耗了一个多小时还没有弄出来。不，是WA了两次，然后放弃了。

        现在想来，把我的思想总结一下就是f(n)=(f(n-1)*10^p+n)%11。其中p表示n的位数。我想，如果我把这个式子写出来或许我就可以想到矩阵快速幂了，然而……那么我们就来说说矩阵对递推的式的优化吧。对于任何线性的递推，我们都可以把递推关系写在矩阵里面，即可以把通项公式写成an=a0*matrix^n，这样子的话，我们就可以利用矩阵乘法优化这个递推的过程。

        这题的话由于p的不同，所以我们要分成18个矩阵并分成一段一段地区求。构造方式的话设递推矩阵为x，x={{10^p,0,0}{1,1,0}{1,1,1}}，然后的话首项是an={{an,n,1}{0,0,0}{0,0,0}}，这样子刚好就可以完成递推，不信自己去试一试。关于构造这个矩阵，我记得我高中高OI的时候好像读过一篇文章专门讲如果构造递推矩阵，然而现在不记得了……下次找到了再讲吧。

　　还有，值得注意到是，对于求位数ｐ，本想装个Ｂ用log换底直接求位数，但是由于一些精度问题老师错……最后还是妥协了……代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#define ULL unsigned long long
#define mod 11
#define N 4
using namespace std;

struct matrix
{
  ULL a[N][N];
} x,s,basic;

ULL n,y;

matrix matmulti(matrix x,matrix y)
{
  matrix ans;
  for(int i=1;i<N;i++)
    for(int j=1;j<N;j++)
    {
        ans.a[i][j]=0;
        for(int k=1;k<N;k++)
        {
            ans.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
            ans.a[i][j]%=mod;
        }
    }
  return ans;
}

matrix matpow(matrix x,ULL y)
{
  if (y==0) return basic;
  else 
    while ((y&1)==0)
    {
      y>>=1;
      x=matmulti(x,x);
    }
  matrix ans=x;
  
  y>>=1;
  while (y!=0)
  {
    x=matmulti(x,x);
    if ((y&1)!=0) ans=matmulti(ans,x);
    y>>=1;  
  }
  return ans;  
}

int main()
{
  s.a[1][1]=0; 
  x.a[2][1]=x.a[2][2]=1;
  s.a[1][2]=0;s.a[1][3]=1;
  x.a[3][1]=x.a[3][2]=x.a[3][3]=1;
  for(int i=1;i<=3;i++) basic.a[i][i]=1;
  scanf("%lld",&n);
  ULL nn=n,p=0;
  while (nn>0)
  {
    nn/=10; p++;
  }
  ULL i=10,j;
  for(i=10,j=1;j<p;i*=10,j++)
  {
    x.a[1][1]=i%mod;
    s=matmulti(s,matpow(x,9*i/10));
  }
  x.a[1][1]=i%mod;
  s=matmulti(s,matpow(x,n-i/10+1));
  printf("%lld",s.a[1][1]);
}