欧拉φ函数

原创

Stven_King 2022-08-23 07:18:03 博主文章分类：关于程序的设计问题 ©著作权

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欧拉φ函数

这是我看过某同学写的之后，应为感觉自己要用所以自己摘要了一下下，
哪里写错了的地方，或哪里有意见不一致的地方还请各位路过的帮忙给改改
谢谢帮助.........

φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

性质
根据Fermat-Euler定理：
对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有
a^φ(m)≡1(mod m)

当m是质数p时，此式则为
a^(p-1)≡1(mod m)

若m=m1*m2*m3*......*mk,而m1,m2,m3......mk两两互质，
则φ(m)=φ(m1)*φ(m2)*φ(m3)*φ(m4)......*φ(mk)。

a为质数
若(N % a==0 && (N/a)%a==0) 则有
φ(n) = φ(n/a)*a
若(N % a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:
φ(n) = φ(n/a)*(a-1)

代码
不借助质数表

int euler(int n){
     int m = n, i;
     if(n % 2 == 0) m /= 2;
     while(n % 2 == 0) n /= 2;
     for(i = 3; n != 1; i += 2){
         if(n % i == 0) m -= m / i;
         while(n % i == 0) n /= i;
     }
     return m;
 }

借助质数表

const int maxn = 40000;
 bool pf[maxn];
 int p[maxn], numOfP = 0;
 void init(){
     memset(pf, 0, sizeof(pf));
     for(int i = 2; i < maxn; i++){
         if(!pf[i]){
             p[numOfP++] = i;
             for(int j = i * i; j < maxn; j += i)
                 pf[j] = true;
         }
     }
 }
 int euler1(int n){
     int sum = 1;
     int tmp;
     for(int i = 0; i < numOfP; i++){
         if(n == 1) break;
         if(n % p[i] == 0){
             tmp = 0;
             while(n % p[i] == 0){
                 n /= p[i];
                 tmp++;
             }
             for(int j = 1; j < tmp; j++)
                 sum *= p[i];
             sum *= p[i] - 1;
         }
     }
     if(n == 1)
         return sum;
     else
         return sum * (n - 1);
 }
 int euler2(int n)
 {
     int i;
     for(i = 2; i <= sqrt((double)n); i++){
         if(n % i == 0 && !pf[i]){
             n /= i;
             if(n % i ==0)
                 return i * euler2(n);
             else
                 return (i - 1) * euler2(n);
         }
     }
     return n-1;
 }