RMQ (Range Minimum/Maximum Query)，即区间最值问题。

对于长度为 ​​n​​​ 的数列 ​​A​​​ ，回答若干查询 ​​RMQ(A,i,j)(i,j<=n)​​​ ，返回数列 ​​A​​​ 中下标在 ​​i,j​​ 里的最大(小)值。

 

相关算法

  1. 朴素（搜索），时间复杂度： O(n)−O(q×n)
  2. 线段树，时间复杂度： O(n)−O(q×logn)
  3. ST（动态规划），时间复杂度： O(n×logn)−O(q)
  4. RMQ标准算法，先规约为 LCA ，再规约成约束 RMQ ，时间复杂度： O(n)−O(q)

 

ST 算法

假设当前题目要求区间最小值，我们令 ​​dp[i][j]​​​ 代表从 ​​i​​ 开始，长度为 2j

于是便有： dp[i][j]=min(dp[i][j−1],dp[i+2j−1][j−1])

分析可知， dp[i][j−1] 代表从 ​​i​​ 开始，长度为 2j 区间一半中的最小值，而 dp[i+2j−1][j−1]

 

最终（从下往上看）：

dp[0][*]

dp[1][*]

dp[2][*]

dp[3][*]

dp[4][*]

dp[5][*]

dp[6][*]

dp[7][*]

dp[*][3]

1

dp[*][2]

1

1

1

5

2

dp[*][1]

3

1

1

5

7

6

2

dp[*][0]

4

3

1

5

7

8

6

2

 

写一组数据，自己动手模拟一遍就可以理解咯~

 

预处理

根据状态转移方程，首先指定当区间长度为 20

void ST_Init(const vector<int> &A)
{
    int n=A.size();
    for(int i=0; i<n; i++)
        dp[i][0]=A[i];
    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++)
        for(int i=0; i+(1<<j)<=n; i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

 

查询

预处理出整个 ​​dp​​​ 数组以后，查询操作很简单，令 ​​k​​​ 为满足 2k<=R−L+1 的最大整数，则以 ​​L​​​ 开头、以 ​​R​​​ 结尾的两个长度为 2k 的区间合起来即覆盖了查询区间 ​​[L,R]​​ 。

int RMQ(int L,int R)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=R-L+1)k++;
    return min(dp[L][k],dp[R-(1<<k)+1][k]);
}

 

线段树

嗯！怎么说呢？感觉线段树在这种类型的题目中好像是最万能的方法了。

无论是 ​​[点修改 + 查询]​​​ 还是 ​​[区间修改 + 查询]​​ ，它都可以做到 O(logn)

当然，除了一维情况下的普通线段树，还有在二维平面中的线段树，类似的也可以实现三维、四维。。。（啊！千千你要做什么o((>ω< ))o）

 

好啦~

对于一维中的线段树，我们想要查询某个区间的最值，首先就应该建树咯~（具体方法省略）

而在查询时，我们可以从根节点向下递归搜索，如下图，假设查询区间为 ​​[2,6]​​ 。

将 ​​[2,6]​​​ 这一个大区间分解为不相交的三个小区间 ​​[2,3]、[4,5]、[6]​​ ，而最终的结果便由这三个节点中所维护的信息决定咯！

『数据结构』RMQ 问题_最小值

我们假设查询还是区间最小值，于是最终的结果为 min(1,7,6)=1

 

线段树可以解决普通的 ​​[点/区间] 修改 + 查询​​​ ，当然它也可以解决 ​​树中的路径权值 修改 + 查询​​（树链剖分）。

线段树：虽然我代码长，但是我功能强大呀~~~（〃｀ 3′〃）

千千：万一某天千千找到了更好的解法怎么办呢？

 

剧透：树链剖分其实是把一棵树剖分成很多链存储在一维空间中（压缩、压缩、压缩），然后最后的解法和一维线段树就变的一样咯。（干嘛说出来呀我~）

 

RMQ 标准算法

待定-ing