ARC 125 B - Squares (思维+数学推导)

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题意：

给出你一个N，然后让你在[1,N]范围内找出两个数(x,y)使得这两个数满足以下条件

• $\sqrt {x^2-y}是个整数:(0也可以)$

分析：

首先我们看：$\sqrt {x^2-y}=z$那么$z>=0$同时平方得：$x^2-y=z^2$
$x^2-z^2=y$
$(x-z)(x+z)=y$
推到这个地方我们就会发现没法再往下，那么我们看左边是一个差，一个和。那么我们不妨先枚举一下差好了，

• 0的话我们最后再说。
• 差是1的话那么注定两个数是相邻的，



• 就是这样子的，这样最小的y就是3（可看成1+2），之后就+2，+2，+2（为什么都是+2一会就说不要着急）
  加上n是10的话那么一共的对数不就是$\frac{10-1}{2}$,类比到n就是$\frac{n-1}{2}$
• 然后我们看看一个差为a，



• 可以看到y最小为1+a,之后就是+2，+2，+2，在这里解释为什么都是+2，因为两端长度我们固定，左端+1之后，右端也一定会+1，所以就相当于构成了等差数列的那种，当然我们还要把初始的差减去，所以当差为a时满足条件的对数为$\frac{n-a}{2}$
• 接下来我们看另一边边界，当我们计算差值x大于等于$\frac{n}{x}$说明我们已经不能再算了，因为$(x+z)一定比(x-z)大$，z是大于等于0的这个之前说了，所以当出现这样的时候就是我们退出的时候，
• 我说停停，还有差为0的没有分析：差为0说明$x^2=y$那么就是我们提取[1,n]中的平方数即可。也可以借用上个状态来求。

// Problem: B - Squares
// Contest: AtCoder - AtCoder Regular Contest 125
// URL: https://atcoder.jp/contests/arc125/tasks/arc125_b
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long ull;
 
#define x first
#define y second
#define sf scanf
#define pf printf
#define PI acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) ((-x)&x)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)
#define repi(i,a,b) for(int i=int(a);i<=(b);++i)
#define repr(i,b,a) for(int i=int(b);i>=(a);--i)
#define debug(x) cout << #x <<": " << x << endl;
 
const int MOD = 998244353;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 2e5 + 10;    
const int dx[] = {0, 1, -1, 0, 0};
const int dy[] = {0, 0, 0, 1, -1};
const int dz[] = {1, -1, 0, 0, 0, 0 };
int day[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
 
void init(){
    
}
ll n;

void solve()
{
    ll ans=0;
    cin>>n;
    for(ll i=1;;i++){
        ll j=n/i;
        if(j==i){
            ans+=j;
            ans=ans%mod;
            break;
        }
        if(j<i){
            ans+=(i-1);
            ans=ans%mod;
            break;
        }
        ans+=(j-i)/2;
        ans=ans%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
} 
 
int main()
{
    init();
    ll t = 1;
    //scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}