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Description

给出 n 个数，求得 x，使 \(\frac{\sum_{i = 1} ^ {n}x + a[i] - min(a[i], 2x)} {n}\) 最小，并输出最后的最小值

State

\(1<=n<=10^5\)

\(1<=a[i]<=10^9\)

Input 

3
3 1 4

Output 

1.83333333333333333333

Solution

前置知识：

​ \(min(x, y) = \frac{x + y - |x - y|}{2}\)

​ \(max(x, y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}\)

这样就可以将最小值换成绝对值了， \(\frac{\sum_{i = 1} ^ {n}x + a[i] - min(a[i], 2x)}{n} = \frac{\sum_{i = 1} ^ n a[i] + | a[i] - 2x | }{2n}\)

其中 \(a[i], 2n\) 都是固定的，只有 \(|a[i] - 2x|\) 受到 \(x\) 的影响；

使得答案最小，只有 \(|a[i] - 2x|\) 最小，而这就说明 \(2x\) 为 \(a[i]\) 的中位数，即 $x = \frac{a[mid]} {2} $

Code 

const int N = 4e5 + 5;

    ll n, m, _;
    int i, j, k;
    ll a[N];

signed main()
{
    //IOS;
    while(~ sd(n)){
        rep(i, 1, n){
            sd(a[i]);
        }
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        double x = a[(1 + n) >> 1] / 2.0, ans = 0;
        rep(i, 1, n){
            ans += a[i] + x - min((double)a[i], 2 * x);
        }
        pf(ans / n);
    }
    return 0;
}