树状数组
树状数组(BIT, Binary Indexed Tree)是简洁优美的数据结构,它能在很少的代码量下支持单点修改和区间查询,我们先以a[] {1, 2, 3, 4, 5, 6}
数组为例建立树状数组看一下树状数组的样子:
可以发现:不是所有节点都是连接在一起的,c\[1\], c\[2\], c\[3\], c\[4\] 和 c\[5\], c\[6\] 分别构成了两棵树;奇数索引位置的节点只管辖一个数组元素(我们例子中以 1 为起始索引)。那么这个树状数组是怎么计算和推导出来的呢?
管辖的区间
树状数组的每个元素会管辖多少个数组元素?也就是说每个元素的区间长度是多少?我们从上图中已经知道了奇数的树状数组元素只管辖一个元素,区间为 c\[x\] = \[x, x\],那么我们只需再研究下偶数元素管辖的区间长度即可。
- c\[y\] 所管辖的区间长度为 2k,其中 k 为 y 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量;c\[y\] 所管辖的区间为:\[y - 2k+ 1, y\]
我们以 c\[4\] 为例,它管辖多少个元素呢?4 的 2 进制表示为 0100,最低位 1 后面 0 的数量为 2,即 k = 2,那么 2k= 22= 4,所以它管辖的区间长度为 4,也就是 4 个数组元素,区间为 \[4 - 4 + 1, 4\] = \[1, 4\]。
父节点是谁?
现在我们知道每个元素所管辖的区间范围了,那么我们怎么才能知道它的父节点是谁呢?就比如说我们现在得到了 c\[1\] 元素,我们想知道它的父节点,要怎么计算呢?
- c\[x\] 的父节点为 c\[x + lowbit(x)\]
怎么回事?其中的\*\lowbit(x)\\*是什么东西?其实它的值和 2k一致,其中 k 为 x 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量,熟悉不熟悉?这个 lowbit(x) 和我们上文中计算该元素所管辖区间长度的值一致!这不就简单了!
- lowbit(x) 的计算方法:lowbit(x) = x & -x
我们以计算 c\[2\] 为例,lowbit(2) = 2 & -2,其中 2 的 2 进制表示为 0010,-2 的 2 进行表示为 1110,它的计算方法为将 2 的所有非符号位二进制全部取反后再加 1,即 1101 + 1 = 1110,执行 & 运算后结果为 0010,十进制表示为 2,与 21值一致。lowbit 的计算用代码表示为:
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
我们以 c\[1\] 节点为例计算下它的父节点是谁,lowbit(1) = 1 & -1 = 0001 & 1111 = 0001 = 1,那么它的父节点为 c\[1 + 1\] = c\[2\],与图上表示的一致。
现在我们已经知道如何通过计算来创建树状数组了, 接下来我们要看下它的应用。
区间查询
区间查询我们先讨论计算前 N 项和的方法,比如我们现在要查询前 6 项和,我们来看下它查询的过程:
- 从 c\[6\] 开始找子节点,有 c\[6\] 管辖的区间为 \[5, 6\],那么再往下找需要找 c\[4\],它的区间为 \[1, 4\],计算这两个节点的和即可。
那么从 c\[6\] 跳到 c\[4\] 是如何计算出来的呢?我们可以通过 c\[6\] 区间的下界减 1 来得到,转换成公式表示即为 x - lowbit(x) = 6 - 2 = 4,当它跳到 c\[4\] 时发现已经满足求和条件,不再向下跳而结束查找,而且我们可以通过计算 4 - lowbit(4) = 4 - 4 = 0 ,可以发现当 x - lowbit(x) = 0 时为结束查找的条件。我们用代码来表示为:
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}
那么我们计算区间 \[3, 6\] 的和该如何计算呢?我们从图中可以发现,先计算出\[1, 6\] 和 \[1, 2\] 的和,再使用前者减去后者即为所得,用代码表示为:
int query(int left, int right) {
return query(right) - query(left - 1);
}
单点修改
如果我们要修改 a\[x\] 的值,我们仅需要修改所有管辖了 a\[x\] 的 c\[y\] 即可,而 a\[x\] 可能会被多个 c\[y\] 管辖,这些所有的 c\[y\] 节点该如何确定呢?我们可以回头再去看看前面的树状数组配图,比如我们要修改 a\[1\] 的值,那么我们需要修改 c\[1\], c\[2\] 和 c\[4\] ,能不能发现它是在不断的跳父节点修改?所以,如果我们要修改数组中某个元素的值,树状数组的更新则是不断地更新父节点值。好,我们直接上代码吧:
// 将 index 索引处的值更新为 num
void update(int index, int num) {
a[index] = num;
add(index, num - a[index]);
}
// 更新 c[index] 的值,变化差值为 val
void add(int index, int val) {
for (int i = index; i <= c.length; i += lowbit(i)) {
c[i] += val;
}
}
建树
好了,区间查询和单点修改我们都讲完了,但是从头到尾我们还没说过树状数组是怎么建立的呢。我们可以想一下,c 数组初始化时每个索引处的值都为 0,建树仅需要将 a 数组中所有值都在树状数组中执行单点修改即可:
public BinaryIndexedTree(int[] a) {
this.a = a;
this.c = new int[a.length + 1];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
add(i + 1, a[i]);
}
}
到这里我们基本上已经将树状数组讲解完毕了,它的全量代码如下:
public class BinaryIndexedTree {
int[] a;
int[] c;
public BinaryIndexedTree(int[] a) {
this.a = a;
this.c = new int[a.length + 1];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
add(i + 1, a[i]);
}
}
// 将 index 索引处的值更新为 num
void update(int index, int num) {
a[index] = num;
add(index, num - a[index]);
}
// 更新 c[index] 的值,变化差值为 val
void add(int index, int val) {
for (int i = index; i < c.length; i += lowbit(i)) {
c[i] += val;
}
}
int query(int left, int right) {
return query(right) - query(left - 1);
}
// 查询前缀和的方法
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
}
巨人的肩膀
- 树状数组(简单介绍)
- 负数的二进制表示方法(正数:原码、负数:补码)
- 树状数组
- 算法学习笔记(2) : 树状数组
- 维基百科 \- 树状数组
- 关于各类「区间和」问题如何选择解决方案(含模板)
- 算法学习笔记(19): 离散化
作者:京东物流 王奕龙
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