文章目录
- 300. 最长递增子序列
- 解题
- 方法一：动态规划
- 方法二：贪心+二分查找
300. 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
进阶：
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
解题
方法一：动态规划
动态规划。
dp[i]=前i个元素，以第i个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 nums[i] 必须被选取。
我们从小到大计算，计算dp[i]时 前dp[0，i-1]已经计算得到，则状态转移方程：
- dp[i] = max(dp[j]) + 1, 0 < j <= i, num[i] > num[j]
我们的遍历思路是：两层循环，外层循环控制最长子序列到哪结束。然后内层循环从第一个元素开始遍历到外层循环控制的位置，找到此时最长的序列长度。
最后，整个数组的最长上升子序列即所有 dp[i] 中的最大值。
// , 时间O(n^2),空间O(n)
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int length = nums.length;
if (length == 1) {
return 1;
}
// dp[i]=前i个元素，以第i个数字结尾的最长上升子序列的长度
int[] dp = new int[length];
// base case 只有一个元素，长度也是1
dp[0] = 1;
int maxLength = 1;
// 开始遍历
for (int i = 1; i < length; i++) {
// 一开始以第i个数字结尾的最长上升子序列的长度，最小就是1
dp[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
maxLength = Math.max(maxLength, dp[i]);
}
return maxLength;
}
}方法二：贪心+二分查找
考虑一个简单的贪心，如果我们要使上升子序列尽可能的长，则我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
基于上面的贪心思路，我们维护一个数组 d[i] （数组是严格递增的），表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素的最小值，用 len 记录目前最长上升子序列的长度，起始时 len 为 1，d[1]=nums[0]。
为了维护这个辅助数组的性质，在扫描主数组时：
- 如果遇到一个比 d 的尾部元素更大的值，说明形成了一个更长的上升序列。 则把它追加到 d 的尾部。
- 如果遇到一个比 d 的尾部元素更小的值，记为a，说明发现了某个上升子序列的、更小的末尾元素，需要更新它。所以我们需要在目前的d这个严格递增的数组中，找到第一个比a大的元素，记为b，然后用a替换b。这个搜索过程可以用二分查找。
最后，d数组的长度就是答案。
此方法为什么可行？分析：
“遍历给定的数组 nums，对于每个元素 i，找到d中第一个大于等于 i 的元素 it。如果it存在，要用i替换it。“ 原因有两点：
- 一是，此时用i替换it，并不影响当前最长增长子序列的实际长度。其实无论怎么替换当前d[]中的存在元素都不影响当前最长子序列的实际长度（只有另一种情况时，往末尾增加新元素才会改变）。
- 二是，之所以用i替换it，是为了得到一种“增益”，使得当前最长增长子序列序列增长的更慢一点。这是关键所在。
//时间O(n log(n)) 空间O(n)
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int length = nums.length;
if (length == 1) {
return 1;
}
// 数组 d[i] （数组是严格递增的），表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素的最小值
// 所以数组的长度应是length+1; 才能满足记录长度从1到length的最长上升子序列
int[] d = new int[length+1];
int len = 1;
d[len] = nums[0];
// 开始遍历原数组
for (int i = 1; i < length; i++) {
if (nums[i] > d[len]) {
d[++len] = nums[i];
} else {
// 当前元素小于d数组末尾元素，在d数组中查找位置
int l = 1, r = len;
// 如果找不到说明所有的数都比 nums[i] 大，此时要更新 d[1]，所以这里将 pos 设为 0
// pos代表第一个比nums[i] 小的下标，找到之后pos+1就是nums[i]的位置。
int pos = 0;
while (l <= r) {
int mid = (l+r)/2;
if (nums[i] > d[mid]) {
pos = mid;
l = mid+1;
} else {
r = mid-1;
}
}
d[pos+1] = nums[i];
}
}
return len;
}
}
