题目在这:​​https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/​​

思路分析:

这种题一般都是动态规划解。
对于动态规划，一般用前面的状态推到后面的状态，所以状态转移公式是这类题最难的部分。

首先将题目分解成最小块。
题中要求找到最长的递增子序列。

  • 若题为​​n = [1] 。​​显然 最长递增子序列 长度为1。
  • 若题为​​n = [1,2]​​​ 或​​N = [1,0]​​​。显然 n 最长为​​[1,2] 长度为2​​ 而 N为最长长度为1。
  • 若题为​​n = [1,2,3]​​ 显然 最长递增子序列是 他本身 长度为3。想象一下我们思考这道题的过程。
  • 首先我们看到了 1，然后看2，2比1大，所以将2加入到我们的答案中， 此时答案为【1，2】。
  • 再往后 我们看到了3，3比2大，所以我们将3加入到答案中，此时答案为【1，2，3】结束。

思考一下上面这道题，为什么我们看到3的时候是和2对比而不是和1对比呢，因为一眼看上去就知道 3 大于1 大于2.实际上脑子里已经对比过1了。

其实想到这里，已经有一点点的本题思路火苗了。​​dp[i]数组含义可以定义为 以n[i]为结尾的最长递增子序列的长度​​ 。

没明白？不知道是否可行？
来看例子~

使用题目中给出的用例: ​​n = [0,1,0,3,2,3]​​

  • 子问题1：数组【0】 以0结尾的，最长子序列长度为1。此时dp数组为[1]
  • 子问题2：数组【0.1】 以1结尾的，最长子序列长度为2;此时dp数组为[1,2]
  • 子问题3：数组【0.1.0】以0结尾的，最长子序列长度依旧为2;此时dp数组为[1,2,1]
  • 子问题4：数组【0.1.0.3】以3结尾的，最长子序列长度为3.此时dp数组为[1,2,1,3] （解释:当遍历到3的时候，我们的最长子序列长度可以从 0到3,从1到3，从第二个0到3，这时候我们只需要找到 以 前面那个数为结尾的最长子序列长度即可。到3时 ,0和1均小于3 ，所以是以0为结尾的最长子序列长度+1或者以1为结尾的最长子序列长度+1(取其中较大的)。就得到了以3为结尾的最长子序列长度。）

此时得到状态转移公式: ​​dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)​​

完整代码

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = len(nums) * [1]

        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)
        print(dp)
        return max(dp)