AM@微积分基本定理@微积分第二基本定理

文章目录

• abstract
• 微积分第二基本定理
• 微积分基本公式

• 公式书写
• 例

• 结合不定积分的方法求定积分

• 定积分换元法

• 证明

• 定积分换元公式逆用

• 例

• 和不定积分第二类换元法的差别
• 定积分分部积分法

• 例

abstract

• 微积分第一基本定理告诉我们,总是能够通过积分法构造(表达)一个连续函数的原函数
• 结合同一个函数的原函数之间仅差一个常数的性质,引出微积分基本定理(也称第二基本定理)和Newton-Leibniz公式

微积分第二基本定理

• 如果$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$,上的一个原函数,则:$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}{x}=F(b)-F(a)$(0)
• 证明:

• 根据原函数存在定理:$G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t$,是连续函数$f(x)$的一个原函数
• 两个原函数之差$F(x)-G(x)$在$[a,b]$上必定是某个常数C

• $F(x)-G(x)=C(a\in[a,b])$,即$G(x)=F(x)+C$(1)
• $G(b)-G(a)=[F(b)+C]-[F(a)+C]$=$F(b)-F(a)$(1-1)

• $G(b)=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$(2);$G(a)=0$(2-1)
• 两式相减:$G(b)-G(a)$=$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$(2-2),等号左右代入(1-1),得$F(b)-F(a)$=$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$(3),即定理(公式(0))成立

• 本定理揭示了定积分与被积函数的"原函数或不定积分"之间的联系(不定积分的结果为原函数)
• 更一般的.当$a>b$,定理也成立

微积分基本公式

• 公式(0)称为Newton-Leibniz公式,也叫微积分基本公式
• 利用本公式可以大大简化定积分的计算手续

公式书写

• 记:$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$\left.F(x)\right|_{a}^{b}$=$F(b)-F(a)$或$[F(x)]_{a}^{b}$=$F(b)-F(a)$;
• 第2种写法用得较少,但当遇到$F(x)$本身以绝对值结尾的,可以提供方便,不易混淆

例

• $\int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x$=$\frac{1}{3}x^3|_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$
• $\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$=$[\ln|x|]_{-2}^{-1}$=$\ln1-\ln{2}=0-\ln{2}$=$\ln{2}$

结合不定积分的方法求定积分

定积分换元法

• 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续,函数$x=\phi(t)$满足

• $\phi(\alpha)=a$,$\phi(\beta)=b$(0)
• $\phi(t)$在$[\alpha,\beta]$(或$[\beta,\alpha]$)上中具有连续导函数,且其值域$R_{\phi}$=$[a,b]$

• 以$t\in[\alpha,\beta]$.为例,$t\in[\alpha,\beta]$时,$x=\phi(t)\in[a,b]$

• 则:$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$\int_{a}^{\beta}f(\phi(t))\phi$(1),该公式为定积分换元公式

• 当$R_{\phi}$超出了$[a,b]$,$\phi(t)$满足其他条件时,只要$f(x)$在$R_{\phi}$上连续,定理结论仍然成立
• 通过方程组(0)解出$\alpha,\beta$大小可能$\alpha<\beta$,也可能时$\alpha>\beta$,这不影响结果,只要保证$a$对应的$\alpha$作为积分下限,$b$对应的$\beta$作为积分上限,就能保证结果正确

• 回顾不定积分的二类换元法积分公式:

• 通过变量代换$u=\phi(x)$,$\int{f(\phi(x))\phi$=$\int{f(u)\mathrm{d{u}}}$,
• 通过变量代换$x=\phi(t)$,则$\int{f(x)\mathrm{d}x}$=$\int{f(\phi(t))}\phi$

证明

• 由假设得,$f(x)$,$g(t)=f(\phi(t))\phi$(1-1)都连续的,由**连续函数原函数存在定理,**这两个函数的定积分和原函数都存在,(1)式两边都可以用微积分基本公式

• 设$F(x)$是$f(x)$的一个原函数(即$F$),由微分积分基本公式,$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$F(b)-F(a)$(2)
• 设$G(t)$是$g(t)$的一个原函数,则$\int_{a}^{\beta}g(t)\mathrm{d}t$=$G(\beta)-G(\alpha)$
• 欲证明(1),即证明$F(b)-F(a)$=$G(\beta)-G(\alpha)$
• 记复合函数:$\Phi(t)=F(\phi(t))$(3)即$\Phi(t)$是$F(x)$关于$t$的表示法$F(x)|_{x=\phi(t)}$,
• 由复合函数求导法:$\Phi$=$F$=$f(\phi(t))\phi$=$g(t)$,可见,$\Phi(t)$是$g(t)$的一个原函数,由微积分基本公式,有$\int_{\alpha}^{\beta}g(t)\mathrm{d}t$=$\Phi(\beta)-\Phi(\alpha)$ (4)

• 又由(1-1),(3),(0)

• $\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi$=$F(\phi(\beta))-F(\phi(\alpha))$=$F(b)-F(a)$(5)

• 由(2),(5):$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$F(b)-F(a)$=$\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi$,这就是公式(1),公式成立

定积分换元公式逆用

• $\int_{a}^{b}f(\phi(x))\phi$=$\int_{\alpha}^{\beta}f(t)\mathrm{d}t$(6)

• 通过$t=\phi(x)$引入新变量$t$,而$\phi(a)=\alpha$,$\phi(b)=\beta$

例

• $\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$,$(a>0)$

• 方法1:不定积分公式法,$\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(a^2\arcsin{\frac{x}{a}}+x\sqrt{a^2-x^2})|_{0}^{a}$=$\frac{1}{2}a^2\arcsin{1}$=$\frac{a^2\pi}{4}$
• 方法2:不定积分换元法:令$x=a\sin{t}$,则$\mathrm{d}x=a\cos{t}\mathrm{d}t$

• 积分限转化:$x=0$时,$t=0$;$x=a$时,$t=\frac{\pi}{2}$
• $\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$=$a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{t}\mathrm{d}t}$=$\frac{a^2}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos{2t})\mathrm{d}t$=$\frac{a^2}{2}[t+\frac{1}{2}\sin{2t}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$=$\frac{\pi{a^2}}{4}$

• $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{5}x}\sin{x}\mathrm{d}x$

• 方法1:$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{5}x}\sin{x}\mathrm{d}x$=$-\int_{0}^{5}\cos^{5}x\mathrm{d}(\cos{x})$=$-\frac{1}{6}\cos^{6}x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$=$\frac{1}{6}$
• 方法:使用公式6

• 令$t=\cos{x}$,则$\mathrm{d}t$=$-\sin{x}\mathrm{d}x$,$\sin{x}{\mathrm{d}x}=-\mathrm{d}t$且$x=0$,$t=1$;当$x=\frac{\pi}{2}$,$t=0$
• $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{5}x}\sin{x}\mathrm{d}x$=$-\int_{1}^{0}t^5\mathrm{d}t$=$\int_{0}^{1}t^5\mathrm{d}t$=$\frac{t^6}{6}|_{0}^{1}$=$\frac{1}{6}$

• 设$f(x)$在[0,1]上连续,则$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}{x}$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x}$

• 方法1:

• $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x}$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin(\frac{\pi}{2}-x))\mathrm{d}{x}$=$-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin(\frac{\pi}{2}-x))\mathrm{d}{(\frac{\pi}{2}-x)}$
• 令$t=\frac{\pi}{2}-x$,当$x=0$时,$t=\frac{\pi}{2}$;$x=\frac{\pi}{2}$时,$t=0$
• $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x}$=$-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f(\sin{t})\mathrm{d}{t}$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{t})}\mathrm{d}t$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}{x}$,等式得证

• 方法2:

• 令$x=\frac{\pi}{2}-t$,则$\mathrm{d}x$=$-\mathrm{d}t$,且$x=0$时$t=\frac{\pi}{2}$,当$x=\frac{\pi}{2}$时,$t=0$于是$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}x$=$-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f(\sin(\frac{\pi}{2}-t))\mathrm{d}t$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{t})\mathrm{d}t$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x}$

和不定积分第二类换元法的差别

• 用$x=\phi(t)$把原来变量$x$代换成新变量$t$时,积分限也要换成新变量$t$的积分限
• 求出$f(\phi(t))\phi$的一个原函数$\Phi(t)$后,不再需要像不定积分那样将$\Phi(t)$变换回原来的变量$x$的函数(不要求反函数存在),只需要将$t$的上下限$(\alpha,\beta)$分别代入$\Phi(t)$作差即可

定积分分部积分法

• $\int_{a}^{b}u(x)v$=$[\int u(x)v$=$[u(x)v(x)-\int{v(x)}{u$=$[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{v(x)}{u$
• 简记为$\int_{a}^{b}uv$=$[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{vu$或$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v$=$[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$
• 公式表明,原函数已经积出的部分可以先用上下限代入,尽快简化算式

例

• 求证:$I_n$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}{x}$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\mathrm{d}x$

• =$\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$,$n$为偶数
• =$\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\frac{2}{3}$,$n$为大于1的正奇数

• 证明:

• $I_n$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}{x}$=$-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x\mathrm{d}{(\cos{x})}$

• 由分部积分公式:$I_n$=$[-\cos\sin^{n-1}x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$+$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\mathrm{d}{(\sin^{n-1}x)}$=$0+(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{x}{(\sin^{n-2}x)}\mathrm{d}x$

• =$(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2{x}){\sin^{n-2}x}\mathrm{d}x$
• =$(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin^{n-2}x)}\mathrm{d}x$-$(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}x}\mathrm{d}x$
• =$(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$(0)

• 移项:$nI_n=(n-1)I_{n-2}$,从而$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$(1)
• 式(2)称为$I_n$关于$n$的递推公式

• 将$n$替换为$n-2$,则由(1)得$I_{n-2}=\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}$,$\cdots$

• 类似的递推下去,知道$I_{n}$下标递减至0或1为止:

• $n=2$时,最终为$I_{2}=\frac{1}{2}I_0$,
• $n=3$时,最终为$I_3=\frac{2}{3}I_{1}$

• $I_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}x$=$\frac{\pi}{2}$;$I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\mathrm{d}x$=1(3)

• 所以,由(1)

• $I_{2m}$=$\frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{1}{2}I_0$(4-1)
• $I_{2m+1}$=$\frac{2m}{2m+1}\frac{2m-2}{2m-1}\cdots\frac{4}{5}\frac{2}{3}I_1$(4-2)
• 代入等式组(3),结合$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}{x}$=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x}$,即欲证结论得证