AM@积分上限的函数及其导数@微积分第一基本定理@原函数存在定理

文章目录

• abstract
• 引言
• 变上限积分

• 基本性质

• 变下限积分
• 微积分第一基本定理

• 定积分与不定积分的关系
• 证明
• 原函数存在定理
• 拓展
• 例
• 例
• 例
• 例

• 微积分第二基本定理及其应用

abstract

• 使用定积分的定义计算积分通常是困难而且不方便的,为此,我们需要寻求新的方法,即微积分基本公式(定理)

• 微积分第一基本定理是关于变上限积分(积分上限函数)的结论,作为第二基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)的基础
• 通常微积分基本定理指的是第二基本定理,微积分基本公式为Newton-Leibniz公式

• 本文介绍:微积分第一基本定理@积分上限的函数及其导数@原函数存在定理

引言

• 变速直线运动中位置函数和速度函数之间的联系

• 物体在时间间隔$[T_1,T_2]$内经过的路程可以用速度函数$v(t)$在$[T_1,T_2]$上的定积分$f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t$来表示
• 另一方面,这段路程又可以通过位置函数$s(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的增量$s(T_2)-s(T_1)$来表达

• 可见,$s(t)$和$v(t)$之间满足$f_{T_1}^{T_2}v(t)\mathrm{d}t$=$s(T_2)-s(T_1)$;并且$s$=$v(t)$,($v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$)
• 这就是说,速度$v(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的定积分等于$v(t)$的原函数$s(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的增量$s(T_2)-s(T_1)$
• 由特殊性体现一般性,可以猜测该结论在一定条件下具有普遍性,并尝试给出证明

变上限积分

• 变上限积分,即积分上限函数
• 所谓积分上限函数,就是自变量位于定积分的上限位置
• 一般地,积分上限函数可以表示为:$G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t$(1)

• 字母$t$不是积分上限的函数$G$的自变量,而是被积函数的自变量,
• 式(1)所示的积分上限的函数$G$的自变量是$x$
• $x$或$x$的函数$g(x)$(不含$t$)的,相对于$f(t)$都是常数,在计算定积分时可以提出到积分号外

• 变上限积分函数是的产生方式依赖于定积分,比一般的初等函数要抽象一些

• 初等函数在其定义域区间内是连续的,其原函数一定存在,但原函数却不一定仍然是初等函数,例如$\sin{x^2}$,该函数原函数存在却积不出(不是初等函数)
• 变上限积分函数可能不是初等函数

基本性质

• $\int_{a}^{x}g(x)f(t)\mathrm{d}t$=$g(x)\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t$

• 因为$g(x)$相对于被积函数是常数
• 例如$F(x)=\int_{0}^{x}(x^2-3t^2)f(t)\mathrm{d}t$,则$F(x)=x^2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$-$3\int_{0}^{x}t^2f(t)\mathrm{d}t$

变下限积分

• 由定积分的补充约定,有$\int_{x}^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$-\int_{b}^{x}f(x)\mathrm{d}x$
• 即可以将变下限积分转换为变上限积分进行研究

微积分第一基本定理

• 揭示不定积分和定积分的关系,讨论变上限积分函数的导数(积分上限的函数及其导数)
• 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,积分上限的函数$G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$,在$[a,b]$上可导,且$G$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}=f(x)$,$x\in[a,b]$(1)

定积分与不定积分的关系

• 上述定理表明,连续函数$f(x)$取变上限$x$的定积分,然后求导,结果还原为$f(x)$本身

• $G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$是$f(x)(x\in[a,b])$的一个原函数
• 区间上积分上限的函数的导数为被积函数
• $\int f(x)\mathrm{d}x$=$\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t+C$,$(x\in[a,b])$

证明

• 可以分为三个部分进行证明:

1. 区间内部$x\in(a,b)$
2. 区间左边界$x=a$
3. 区间右边界$x=b$

• 若$x\in(a,b)$,且$x+\Delta{x}\in(a,b)$

• 记:$\Delta{G(x)}=G(x+\Delta{x})-G(x)$

• =${\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}-{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$
• =${\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t} +{\int_{x}^{a}f(t)\mathrm{d}t}$
• =${\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}$

• 由定积分中值定理:

• 区间$[x,x+\Delta{x}]$上存在一点$\xi$,使得:$\Delta{G(x)}$=${\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}$=$f(\xi)\Delta{x}$
• $\frac{1}{\Delta{x}}\Delta{G(x)}$=$\frac{1}{\Delta{x}}{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)\mathrm{d}t}$=$f(\xi)$
• $\Delta{x}\to{0}$时,$x+\Delta{x}\to{x}$.又因为$\xi\in{[x,x+\Delta{x}]}$,则$\xi\to{x}(\Delta{x}\to{0})$
• 由导数的定义(极限),将$\xi$视为变量,$G^{$=$\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{G(x)}}{\Delta{x}}$=$\lim\limits_{\xi\to{x}}f(\xi)$=$f(x)$

• 由于$f(x)$在$[a,b]$内是连续的,$[x,x+\Delta{x}]\sub(a,b)$自然也是连续的
• 根据一元连续函数的性质,那么有$\lim\limits_{\xi\to{x}}f(\xi)=f(x)$

• $G$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$,$(x\in(a,b)$,即结论成立

• 进一步分类讨论:

• $x=a$,取$\Delta{x}>0$;可以得到右导数$G$;
• $x=b$,取$\Delta{x}<0$;左导数:$G$,
• 从而得到$G$

原函数存在定理

• 由微积分第一基本定理,容易引出连续函数的原函数存在定理
• 定理:

• 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,则函数$G(x)={\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$就是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数

• 即$G(x)$=$f(x)$,$(x\in[a,b])$;$\int{f(x)\mathrm{d}x}$=$G(x)+C$;
• 注意积分下限为闭区间左端点,积分上限为变量$x$

• 本定理表明

• 来连续函数的原函数一定存在,并解释了(变上限)定积分与原函数之间的关系,暗示我们可以有可能通过原函数来计算定积分

拓展

• 如果$f(x)$在区间$D=[a,b]$上除了点$x=x_0\in(a,b)$外均连续,而在$x=x_0$处$f(x)$有跳跃间断点(即$f(x)$在$x_0$处的左右极限都存在但不相等:$\lim\limits_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})$,$\lim\limits_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+})$,$f(x_0^{-})\neq{f(x_0^{+})}$)
• 令$F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\mathrm{d}t$,$c\in[a,b]$,$x\in[a,b]$则有结论

• $F(x)在[a,b]$上连续
• $F$
• $F$,即,间断点$x_0$处原函数的左导数等于$f(x)$在$x_0$的左极限,原函数右导数等于$f(x)$在$x_0$右极限

• 例,分段函数$f(x)$=$\sin{x}$,$(x\leqslant{0})$;$f(x)=e^{x}$,$(x>0)$,我们研究其在$(-\infin,+\infin)$区间上的原函数性质

• 任取$(-\infin,+\infin)$中的某点$c$,不妨取$c=-\pi$,并记$F(x)$=$\int_{-\pi}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
• 由分段函数的积分:$F(x)$

• =$\int_{-\pi}^{x}\sin{t}\mathrm{d}t$=$-\cos{x}|_{-\pi}^{x}$=$-[\cos]_{-\pi}^{x}$=$-(\cos{x}+1)$=$-\cos{x}-1$,$(x\leqslant{0})$
• =$\int_{-\pi}^{0}\sin{t}\mathrm{d}t$+$\int_{0}^{x}e^{t}\mathrm{d}t$=$[-\cos{x}-1]|_{x=0}$+$e^{x}|_{0}^{x}$=$-2$+$e^{x}-1$=$e^{x}-3$,$(x>0)$
• 显然$F(x)$在两个区间内各自连续,且在$x=0$处连续,因为$F(0^{-})$=$F(0^{+})$=$F(0)$,因此$F(x)$在$(-\infin,\infin)$上连续

例

• 设$f(x)$在[a,b]上连续,且$f(x)>0$,$G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}{t}+\int_{b}^{x}\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t$(1)
• 求证

• $G$
• 方程$G(x)=0$在$(a,b)$内仅有一个实根

• 式(1)两边对$x$求导

• $G$
• 由于$f(x)>0$,由基本不等式得出$G$
• 由于$G(a)=\int_{b}^{a}\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t=-\int_{a}^{b}\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t<0$

• $G(b)=\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t>0$;故由零点定理知,$G(x)=0$在$(a,b)$内至少存在一个根
• 而$G$,$G(x)$在$[a,b]$上单调增加,所以$G(x)=0$在$(a,b)$内仅有一个根

例

• $\lim\limits_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x^2}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}\mathrm d{t}\right)$

• 容易发现上述极限是$\frac{0}{0}$型,考虑使用LHopital法则
• 由于(可以令$u=\cos{x}$,作复合函数求导)

• $\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}\mathrm{d}t$=$-\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\int_{1}^{\cos{x}}e^{-t^2}\mathrm{d}t$=$-\frac{\mathrm d}{\mathrm du}\int_{1}^{u}e^{-t^2}\mathrm{d}t\cdot{\frac{\mathrm du}{\mathrm{d}x}}$=$-(e^{-u^2})(-\sin{x})$=$\sin{x}e^{-\cos^{2}{x}}$

• $\lim\limits_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x^2}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}\mathrm d{t}\right)$=$\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}e^{-\cos^2{x}}}{2x}=\frac{1}{2e}$

例

• $F(x)=x^2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
• 则$F$=$2x\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$+$x^2f(x)$

例

• 设$f(x)$在$[0,+\infin)$上单调减少且连续,令$F(x)=\int_{0}^{x}(x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t$,求证$F(x)\geqslant{0}$
• $F(x)$=$x^2\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$-$3\int_{0}^{x}t^2f(t)\mathrm{d}t$
• $F$=$2x\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t+x^2f(x)$-$3x^2f(x)$=$2x\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$-$2x^2f(x)$(0)
• 对$f(x)$应用积分中值定理:存在$\xi\in[0,x]$(设$x>0$),使得$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}x$=$f(\xi)(x-0)$

• 即$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}x$=$xf(\xi)$(1)

• 将(1)代入(0),得$F$=$2x^2(f(\xi)-f(x))$
• 由$f(x)$的单调递减,$\xi\leqslant{x}$,可知$f(\xi)\geqslant{f(x)}$;即$f(\xi)-f(x)\geqslant{0}$
• 从而$F$,$F(x)$在$[0,+\infin)$上单调递增,从而$F(x)\geqslant{F(0)}=0$,命题得证

微积分第二基本定理及其应用

• 微积分第二基本定理