AM@隐函数存在定理@多元隐函数偏导

文章目录

• abstract
• 隐函数存在定理1

• 部分推导
• Note

• 例
• 推广

• 隐函数存在定理2

• 部分推导

• 隐函数存在定理3

• 公式的应用
• 部分推导

abstract

• 隐函数存在定理
• 多元隐函数求导@偏导

隐函数存在定理1

• 设函数$F(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某一邻域内具有连续偏导数(P0),且

• $F(x_0,y_0)$=$0$,
• $F_y(x_0,y_0)\neq{0}$,

• $F_y$为$F(x,y)$对$y$的偏导数,
• 类似的,$F_x$表示的是$F(x,y)$对$x$的偏导数

• 则方程$F(x,y)=0$(0)在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数$y=f(x)$(1),它满足$y_0=f(x_0)$,且$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$-\frac{F_{x}}{F_y}$(2)
• 公式(2)就是隐函数求导公式
• 本定理解决:由一个二元方程式确定的一元隐函数求导法

部分推导

• 隐函数存在定理1的唯一存在性的推导需要专业知识,略过
• 在已知$F(x,y)=0$能确定函数$y=f(x)$(即式(1))前提下,推导公式(2)

• 将式(1)代入到式(0),得恒等式$F(x,f(x))\equiv0$(3),其左端可以看作是$x$的一个复合函数
• 因此,对(3)或(0)两边求全导数:$F_{x}+F_{y}\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}x}$=0(4)
• 由条件(P0),$F_y$连续,且$F_{y}(x_0,y_0)\neq{0}$,所以存在$(x_0,y_0)$的一个邻域,在该邻域内$F_{y}\neq{0}$(5)(由连续可知,$(x,y)\to{(x_0,y_0)}$时$F_{y}\not\to{0}$而是$F_y$趋于一个非0数,因此在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,$F_y\neq{0}$)
• 从而可以将是(4)变形为$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$-\frac{F_{x}}{F_{y}}$

Note

• 定理中条件$F_{y}(x_0,y_0)\neq{0}$下,方程确定的是$y$关于$x$的函数
• 若定理中的条件$F_{y}(x_0,y_0)\neq{0}$改为$F_{x}(x_0,y_0)\neq{0}$,那么方程确定的函数是$x$关于$y$的函数

例

• 已知二元方程$\sin{y}+e^{x}-xy=1$,求$y$

• 设$F(x,y)$=$\sin{y}+e^{x}-xy-1$
• 则$F_{x}$=$e^{x}-y$;$F_y=\cos{y}-x$;代入公式(2)得:$y$

推广

• 本定理可以推广到多元函数
• 一个二元方程$F(x,y)=0$可以确定一个一元隐函数
• 一个三元方程$F(x,y,z)=0$可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

• 设函数$F(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内有连续偏导数,且$F(x_0,y_0,z_0)=0$(1),$F_y(x_0,y_0,z_0)\neq 0$
• 则方程$F(x,y,z)=0$(2)在点$P$的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数$z=f(x,y)$(3),它满足$z_0=f(x_0,y_0)$,且

• $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{F_x}{F_z}$(3-1)
• $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{F_y}{F_z}$(3-2)

• 本定理解决:由一个三元方程式确定的二元隐函数求导法

• 公式中计算$F_{x},F_y,F_z$都是多元函数偏导问题,不涉及复合函数偏导

部分推导

• 将式(3)代入(2),得$F(x,y,f(x,y))=0$;分别对边求$x,y$的偏导

• $F_{x}+F_{z}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=0$;$F_y+F_{z}\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=0$

• 由条件,$F_{z}\neq{0}$将上述两式变形得(3-1,3-2)

隐函数存在定理3

• 本定理解决方程组(2个四元方程)所确定的二元函数的导数求法,本定理和线性方程组的解问题相关
• 设$F(x,y,u,v)=0$,$G(x,y,u,v)=0$(1)在点$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$,$G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$(2)且偏导数所组成的函数行列式(可称为雅可比(Jacobi)式)

• $J=\frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,v)}$=$\begin{vmatrix}\frac{\partial{F}}{\partial{u}}&\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\\\frac{\partial{G}}{\partial{u}}&\frac{\partial{G}}{\partial{v}}\\\end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}$ (3)

• 在点$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$不等于0,则方程组(2)在点$P$的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数$u=u(x,y)$;$v=v(x,y)$,它们满足$u_0=u(x_0,y_0)$;$v_0=v(x_0,y_0)$,且有公式组(4):(4-1,4-2,4-3,4-4)

1. $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}$=$u_x$=$-\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(x,v)}$
2. $\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$=$v_{x}$=$-\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,x)}$
3. $\frac{\partial{u}}{\partial{y}}$=$u_{y}$=$-\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(y,v)}$
4. $\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$=$v_{y}$=$-\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(y,v)}$

公式的应用

• 从公式组(3),(4)可以看出,为了是用公式需要计算出$F_{u},F_{v},G_{u},G_{v}$,再根据需要计算的自变量$x,y$的偏导数来计算$F_{x},G_{x}$或$F_{y},G_{y}$中的一组
• Note

• 计算$F_{x}$或$G_{x}$时,要注意$F,G$是4元函数,自变量为$x,y,u,v$,当对$F,G$求关于$x$的偏导数时,$y,u,v$要当作常数,特别是$u,v$,这里不应视为关于$x,y$的函数;即,要明确对$F(x,y,u,v)$求$x$的偏导和对$H(x,y)=F(x,y,u(x,y),v(x,y))$这个复合函数求$x$的偏导是不同的,前者的$u,v$是自变量,后者的$u,v$是中间变量,需要以复合函数求导的方式计算($H_{x}=F_{x}+F_{u}u_{x}+F_{v}v_{x}$
• 计算$F_{y},G_{y}$时类似

部分推导

• 由于$F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0$;$G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0$
• 将恒等式两边分别对$x$求导,得方程组(5)

• $F_{x}+F_uu_{x}+F_{v}v_{x}=0$(5-1)
• $G_{x}+G_{u}u_x+G_{v}v_{x}=0$(5-2)

• 方程组(5)是关于$u_x,v_x$线性方程,(可以分别将(5-1,5-2)变形为(6)

• $F_{u}u_{x}+F_{v}v_{x}$= $-F_{x}$(6-1)
• $G_{u}u_x+G_{v}v_{x}$=$-G_{x}$(6-2)
• 这是更加标准的线性方程组形式,方程组右端分别为$-F_{x},-G_x$而不是$F_x,G_{x}$

• 由Cramer法则,当线性方程组(6)的系数行列式$J=\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}\neq{0}$时方程组(6)有唯一解,即(4-1,4-2)

• $u_x$=$\frac{1}{J} \begin{vmatrix}-F_x&F_v\\-G_x&G_v\end{vmatrix}$=$-\frac{1}{J} \begin{vmatrix}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{vmatrix}$=$-\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(x,v)}$
• $v_x$=$\frac{1}{J} \begin{vmatrix}F_u&-F_x\\G_u&-G_x\end{vmatrix}$=$-\frac{1}{J} \begin{vmatrix}F_u&F_x\\G_u&G_x\end{vmatrix}$=$-\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,x)}$

• 类似的可以得到(4-3,4-4)
• 公式组可以不记忆,掌握推导过程,可以直接对具体的应用推导出结果