AM@空间曲面@平面@面面位置关系@点面距离

文章目录

• 曲面
• 曲线
• 平面

• 点法式方程

• 不共线的3点确定一个平面
• 方程同解
• 平面方程的一般式
• 特别情形
• 与坐标轴平行的平面
• 与坐标轴垂直@与坐标面平行的平面
• A=B=C=0
• 例

• 截距式
• 两平面的夹角👺
• 两平面的位置关系

• 垂直关系
• 平行关系
• 例

• 点到平面的距离

• 小结
• 例

曲面

• 空间解析几何中"曲面S"的三元方程$G:F(x,y,z)=0$的关系(含义)

• S上的任意一点满足方程G
• 不在S上的点,不满足方程G

曲线

• 可以将空间曲线看作是曲面的交线

• 设2个曲面及其方程$S_1:F(x,y,z)=0$和$S_2:G(x,y,z)=0$
• 它们的交线$C$的方程:

• $F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0$

平面

点法式方程

• 一个平面$\Pi$可以有一个位于$\Pi$上的点$M_0$及$\Pi$的法向量$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$所确定
• 平面上的任意一条直线总是和平面的法向量垂直,利用这个关系,可以构造平面的方程

• 平面上的任意一点$M(x,y,z)$,$\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$
• 则$\overrightarrow{M_0M}\cdot{\boldsymbol{n}}=0$即

• $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

不共线的3点确定一个平面

• 三个点可以唯一确定三维空间中的一个平面
• 设给定三个点$M_1,M_2,M_3$构成的向量$\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3}$不共线,则三点确定的平面$\Pi$的法向量可以由叉积确定:

• $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3}$
• 再从$M_{1\sim{3}}$中任选一点和$\boldsymbol{n}$可以得到平面的点法式方程

方程同解

• 对于方程$F=G$和$A=B$,则$F+A=G+B$或$F+B=G+A$

平面方程的一般式

• 设方程$F(x,y,z)=0$,点$M_0=(x_0,y_0,z_0)$满足$F(x_0,y_0,z_0)=0$

1. $Ax+By+Cz+D=0$
2. $Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$
3. $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(由1,2两式相减)

• 根据方程的性质,方程1和3是同解的,而方程3的形式是平面的点法式方程

• 方程3是过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$的且以$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$为法向量的平面$\Pi$的点法式方程

• 可见,任意一个形如方程1的一元三次方程可以作为某个平面的方程,方程1称为平面的一般方程

特别情形

• 立体几何中

• 平面$\Pi$与其外的直线$\boldsymbol{l}$平行的充要条件是$\Pi$中存在一条直线$t$满足$t//l$,即$\Pi$的法向量$\boldsymbol{n}\perp{l}$
• 平面$\Pi$与其外的直线$\boldsymbol{l}$垂直的充要条件是$\boldsymbol{n}//\boldsymbol{l}$

• $D=0$时,方程1(记为$E_1$)表示一个通过原点的平面(此时$(0,0,0)$满足方程($E_1(D=0)$))

与坐标轴平行的平面

• 这里的平行包含了坐标轴位于平面上的情形
• $A=0$时,$E_1$退化为$E_1(A=0):By+Cz+D=0$此时方程仅剩下2个变量;此时平面上的任意点沿着$x$轴平移任意距离依然位于平面上,可见$E_1(A=0)$是一个平行于$x$轴的平面

• 以平面法向量的角度来看,$E_1(A=0)$的法向量是$(0,B,C)$其特点是位于坐标面$yOz$上(和$x$轴垂直)

• $B=0$时,$E_1(B=0)$是一个平行于$y$轴的平面
• $C=0$时,$E_1(C=0)$是一个平行于$z$轴的平面

与坐标轴垂直@与坐标面平行的平面

• 若$A,B,C$中的2个为0,则平面平行于坐标面
• 例如A=B=0,平面的法向量为$(0,0,C)$平行于z轴,此时平面垂直于z轴(平行于坐标面)

• 假设平面的法向量平行于z轴(设为(0,0,1),且平面过(1,1,1),方程为$z+D=0$,记为$S_1:z=-D$

• 此时,所有位于满足$z=-D$的点都满足方程$S_1$
• 可以判断,满足$S_1$的所有点构成一个平行于$xOy$坐标面的平面(或说垂直于$z$轴的平面)

• 此时方程形如$Cz+D=0$

• 假设点$(1,0,0)$位于该平面上,则$D=0$,因此$Cz=0$

• 由于z=0,所以$C\in\mathbb{R}$
• $Cz=0$,即$z=\frac{0}{C}=0$,$z=0$表示$xOy$坐标面

• 假设点(1,1,1)位于该平面,$C+D=0$,$D=-C$,

• 平面$xOy$的方程可以表示为$Cz-C=0$,方程两边同时除以$C$,得到$z-1=0$,即$z=1$

A=B=C=0

• 这种情况下,法向量变为$(0,0,0)$这是个零向量,其方向是任意的,此时方程变为$0=0$,不在表示平面

例

• 求过点$M(4,-3,-1)$和$x$轴的平面$\Pi$的方程

• 设平面方程一般式为$Ax+By+Cz+D=0$
• 由于$\Pi$过$x$轴,则$(0,0,0),(x_0,0,0),x_0\in{\mathbb{R}}$位于$\Pi$,所以$D=0$且$Ax_0+0+0+0=0$,即$A=0$
• 此时方程为$By+Cz=0$
• 带入$M$,则$-3B-C=0$,即$C=-3B$
• 从而$By+Cz=By-3Bz=0$,

• 若$B\neq{0}$对$By-3Bz=0$两边同除以$B$,得到$y-3z=0$
• 若$B=0$,则方程为$0=0$不是一个平面

• Note:

• 由$x$轴位于平面$\Pi$上可知,$\Pi$的法向量$\boldsymbol{n}$在$x$轴上的投影为0

• $\text{Prj}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{n}=|\boldsymbol{n}|\cos<\boldsymbol{x,n}>=|\boldsymbol{n}|\cos\frac{\pi}{2}=0$(其中$\boldsymbol{x}$表示$x$轴)
• 从而$A$

截距式

• 设平面$\Pi$与$x,y,z$轴的交点依次为$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$3点,求$\Pi$的方程

• 设平面的方程为$Ax+By+Cz+D=0$
• 将$P,Q,R$分别带入方程:

• $aA+D=0\\ bB+D=0\\ cC+D=0$

• 解得

• $A=-\frac{1}{a}D \\ B=-\frac{D}{b} \\ C=-\frac{D}{c}$

• 从而$Ax+By+Cz+D=0$即为$-\frac{D}{a}x-\frac{D}{b}y-\frac{D}{c}z+D=0$,两边同乘以$\frac{-1}{D},D\neq{0}$并移项,得到截距式

• $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

两平面的夹角👺

• 这部分和高中数学内容向重合
• 两平面的夹角(通常记为$\theta$,$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$内的角)称为两平面的夹角
• 设平面$\Pi_1,\Pi_2$的法线向量依次为$\boldsymbol{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$,$\boldsymbol{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$

• $\theta_1=\boldsymbol{<n_1,n_2>}$,$\theta_2=\boldsymbol{<-n_1,n_2>}$,$\theta_1+\theta_2=\pi$

• 记平面$\Pi_1,\Pi_2$的夹角为$\theta=\min(\theta_1,\theta_2)$

• 余弦函数满足$\cos\theta=-\cos(\pi-\theta)$

• 因此$\cos\theta=|\cos(\theta_1)|=|\theta(\theta_2)|$,也就是说,只要任意求出$\cos\theta_1或\cos\theta_2$,然后对其取绝对值就是$\theta$的余弦值
• 而$\cos\theta_i,i=1,2$的计算公式为

• $\cos\theta=|\cos\theta_i| =\left| \frac{\boldsymbol{n_1\cdot n_2}}{\boldsymbol{|n_1|\cdot |n_2|}} \right| =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$
• 注意,该公式和两向量的夹角余弦公式的区别在于外围增加了一层"绝对值号"

两平面的位置关系

• 借助夹角来判断两个平面的平行和垂直关系

垂直关系

• 两个平面垂直,夹角$\theta=\frac{\pi}{2}$,则$\cos\theta=0$,根据$\cos\theta$的公式(上一节介绍的),$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

平行关系

• 两个平面平行,夹角为$0$或$\pi$,则$\cos\theta=\pm{1}$,即$|\cos\theta|=1$

• $\left| \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \right|=1 \\ (A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2)^2=(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2) \\\\ A_1^2A_2^2+B_1^2B_2^2+C_1^2C_2^2+2(A_1A_2B_1B_2+A_1A_2C_1C_2+B_1B_2C_1C_2) \\=A_1^2A_2^2+A_1^2B_2^2+A_1^2C_2^2+B_1^2A_2^2+B_1^2B_2^2+B_1^2C_2^2 +C_1^2A_2^2+C_1^2B_2^2+C_1^2C_2^2 \\\\ 2(A_1A_2B_1B_2+A_1A_2C_1C_2+B_1B_2C_1C_2) \\=A_1^2B_2^2+A_1^2C_2^2+B_1^2A_2^2+B_1^2C_2^2 +C_1^2A_2^2+C_1^2B_2^2 \\\\ A_1^2B_2^2+A_1^2C_2^2+B_1^2A_2^2+B_1^2C_2^2 +C_1^2A_2^2+C_1^2B_2^2 \\-2A_1A_2B_1B_2-2A_1A_2C_1C_2-2B_1B_2C_1C_2=0$
• 可得$(A_1B_2-A_2B_1)^2+(A_1C_2-A_2C_1)^2+(B_1C_2-B_2C_1)^2=0$
• 根据平方和为0的性质:$\sum{f_i^2}=0\Leftrightarrow{f_i=0}$

1. $A_1B_2-A_2B_1=0$,即$A_1B_2=A_2B_1$,
2. $A_1C_2-A_2C_1=0$,即$A_1C_2=A_2C_1$
3. $B_1C_2-B_2C_1=0$,即$B_1C_2=B_2C_1$

• 若$A,B,C\neq{0}$(或说$ABC\neq{0}$)

• 两边乘以$\frac{1}{A_2B_2}$,式1形式变换为$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$类似的,可以得到$\frac{A_1}{A_2}=\frac{C_1}{C_2}$,$\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

• 因此$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

• 虽然使用这个形式有$ABC\neq{0}$的条件,但是如果已知$\Pi_1,\Pi_2$的法向量满足该式,则$\Pi_1//{\Pi_2}$
• 在同济高数教材中,分母为0的情况用注脚做出了说明,约定在遇到分母为0的时候不再将其解释为除法(除以0),而是将分子视为0处理

例

• 平面$\Pi$通过$M_1(1,1,1),M_2(0,1,-1)$两点,$\Pi_0:x+y+z=0$,有关系$\Pi\perp{\Pi_0}$,求$\Pi$

• 利用待定系数法求解

• 思路1:

• 设$\Pi$的方程为$Ax+By+Cz+D=0$
• 法向量为$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$
• 由$M_{1,2}$在$\Pi$上可知:$A+B+C+D=0$,$B-C+D=0$,两式相减$A+2C=0$
• 可求解出$E_1:A=-2C$

• 思路2:设$\Pi$的法向量为$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$

• $\boldsymbol{m}=\overrightarrow{M_1M_2}=(-1,0,-2)\in{\Pi}$,所以$\boldsymbol{n}\perp{\boldsymbol{m}}$
• 从而$\boldsymbol{m\cdot{n}}=0$,即$-A+0-2C=0$
• 可以解出$E_1:A=-2C$

• $\Pi_0$的法向量为$\boldsymbol{n_0}=(1,1,1)$,由$\Pi\perp{\Pi_0}$关系和上节中的结论:$\boldsymbol{n\cdot{n_0}}=0$,即$E_2:A+B+C=0$
• 将$E_1$带入$E_2$,得$B=C$;此时$\boldsymbol{n}=(A,B,C)=(-2C,C,C)$
• 取$M_1$为点法式的点,构造方程$A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0$,即$-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0$
• 对两边同时除以C($C\neq 0$),则$-2(x-1)+y-1+z-1=0$即$-2x+y+z=0$,即$2x-y-z=0$

点到平面的距离

• 设$P_0(x_0,y_0,z_0)$是平面$\Pi:Ax+By+Cz+D=0$外一点,求$P_0$到$\Pi$的距离$d$

• 设平面的法向量为$\boldsymbol{n}$,其朝向记为$\boldsymbol{d_1}$,$-\boldsymbol{n}$也是$\Pi$的法向量,其朝向记为$\boldsymbol{d_2}$
• 我们只需要讨论其中的一种情况,另一种情况由于条件的对称性,同理,具有相同的结论
• 下面讨论点$P_0$位于$\boldsymbol{d_1,d_2}$侧时的情形

• 将位于$\boldsymbol{d_1}$侧时的$P_0$,记为$P_{01}$,位于$\boldsymbol{d_2}$侧时记为$P_{02}$
• 分析可知,法向量$\boldsymbol{n}$和$\overrightarrow{P_{1}P_{01}}$的夹角$\theta_1\in(0,\frac{\pi}{2})$,$\boldsymbol{n}$和$\overrightarrow{P_1P_{02}}$的夹角为$\theta_{2}\in(\frac{\pi}{2},\pi)$
• 距离分别记为$h_1=|\overrightarrow{P_{1}P_{01}}|\cos{\theta_1}$和$h_2=|\overrightarrow{P_{1}P_{02}}|\cos{(\pi-\theta_2)}=|\overrightarrow{P_{1}P_{02}}|(-\cos{\theta_2)}$
• 其中$\cos\theta_{2}<0$,即$-\cos\theta_{2}>0$,从而$h_2=|\overrightarrow{P_{1}P_{02}}||\cos{\theta_2|}$
• 另一方面,$\cos\theta_1>0$,即$|\cos\theta_1|=\cos\theta_1$,从而$h_1=|\overrightarrow{P_{1}P_{01}}|\cos{\theta_1}=|\overrightarrow{P_{1}P_{01}}||\cos{\theta_1}|$
• 从而$h_1,h_2$的计算公式形式一致,因此点$P_0$到$\Pi$的距离公式为:
• $h=|\overrightarrow{P_{1}P_{0}}||\cos{\theta}|$

小结

• $\overrightarrow{P_1P_0}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$

• $h=|\overrightarrow{P_1P_0}| |\cos\theta| =|\overrightarrow{P_1P_0}| \frac{|\overrightarrow{P_1P_0}\cdot{\boldsymbol{n}}|}{|\overrightarrow{P_1P_0}||\boldsymbol{n|}} \\ =\frac{|\overrightarrow{P_1P_0}\cdot{\boldsymbol{n}}|}{|\boldsymbol{n}|}$

• 带入坐标式:

• $h=\frac{|(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\cdot(A,B,C)|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|Ax_0-Ax_1+By_0-By_1+Cz_0-Cz_1|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

• 由于$P_1\in\Pi$,所以$Ax_1+By_1+Cz_1+D=0$,即$-(Ax_1+By_1+C_z)=D$
• 所以

• $h=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

例

• 点$P(2,1,1)$到$\Pi:x+y-z+1=0$的距离:

• $h=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{1+1+1}}=\sqrt{3}$