AM@连续@间断点

文章目录

• abstract
• 增量
• 变量增量

• 函数增量
• 变量用定点和增量表示

• 连续

• 点连续
• 左连续
• 右连续
• 区间内连续
• 闭区间端点连续
• 连续函数的图形
• 常见连续函数
• 例

• 间断点

• 第一类间断点

• 可去间断点
• 跳跃间断点

• 第二类间断点

abstract

• 增量的概念
• 一元函数连续和间断点概念和分类

增量

变量增量

• 设变量$u$从它的一个初始值$u_1$变换到终值$u_2$,则$u_2-u_1$称为变量$u$的增量,记为$\Delta{u}=u_2-u_1$
• 增量可以正的,也可以时负的

• $\Delta{u}>0$表示变量$u$从$u_1\to{u_2=u_1+\Delta{u_1}}$时是增大的
• 否则$u_1\to{u_2}$是减小的

• 记号说明$\Delta{u}$是一个整体,而是不可分割的记号

函数增量

• 假定$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义,则当$x\to{x_0+\Delta{x}}$时,$f(x_0)\to{f(x_0+\Delta{x})}$,因此函数值或因变量$f(x)$的对应增量为$\Delta{y}=f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)$
• 习惯上称$\Delta{y}$为函数增量

变量用定点和增量表示

• 设$x=x_0+\Delta{x}$,那么$\Delta{x}\to{0}$就是$x\to{x_0}$;
• 同时,$\Delta{y}$=$f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)$=$f(x)\to{f(x_0)}$,即$f(x)=f(x_0)+\Delta{y}$从而$\Delta{y}\to{0}$就是$f(x)\to{f(x_0)}$,即$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=f(x_0)$(0)

连续

• 若$\Delta{x}\to{0}$时,函数的对应增量$\Delta{y}\to{0}$,即

• $\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\Delta{y}=0$(1)或$\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}[f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)]=0$(2)
• 则称$y=f(x)$在$x_0$处是连续的

• 上述分析可知,式(0),(1),(2),是相当的,通常习惯是用(0),该式更加接近一般的极限书写习惯

点连续

• 设$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域$(U(x_0))$内有定义,若式(0)(或(1)或(2))成立,则称**$y=f(x)$在点$x_0$连续**

• (1,2,3)究竟使用哪种形式方便,需要具体分析
• 式(0)指出:$y=f(x)$在$x\to{x_0}$时的极限存在且等于$f(x_0)$,则$f(x)$在$x_0$处连续(仅极限存在是不够的,还需要等于$f(x_0)$而不能是其他值)

• 并且,由式(0)容易将连续用"$\epsilon-\delta$语言"表述:$f(x)$在点$x_0$ $\Leftrightarrow$ $\forall{\epsilon>0},\exist{\delta>0}$,当$|x-x_0|<\delta$时,$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
• Notes:

• 几何的角度解释,就是$y=f(x)$在$x_0$处连续则$x_0$相邻的点$x_0+\delta$的函数值$f(x_0+\delta)$和$f(x_0)$要多接近有多接近
• 和一般的自变量趋于$x_0$的极限表述不同的地方在于从去心邻域$\mathring{U}(x_0,\delta)$变成非去心邻域$U(x_0,\delta)$,因为连续要求$x=x_0$有定义

左连续

• 若$\lim\limits_{x\to{x_{0}^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})$存在且等于$f(x_0)$,即$f(x_0^{-})=f(x_0)$,则$f(x)$在点$x_0$左连续

右连续

• 类似的,$f(x_0^{+})=f(x_0)$,则$f(x)$在$x_0$右连续

区间内连续

• 若$f(x)$在区间内每一点都连续,则称$f(x)$是在该区间上的连续函数,或说$f(x)$在该区间上连续

闭区间端点连续

• 若函数在闭区间上连续,则函数在区间右端点连续是指左连续,在左端点连续则是指右连续

连续函数的图形

• 连续函数的图形是一条连续而不断的曲线

常见连续函数

• 因为有理多项式函数定义域$(-\infin,+\infin)$内的任意点处的极限都存在($\lim\limits_{x\to{x_0}}{f(x)}$=$f(x_0)$),因此$f(x)$在$(-\infin,+\infin)$内是连续的
• 有理分式函数$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$,$(Q(x)\neq{0})$类似的,在其定义域内任意点极限都存在,因而也是连续的

例

• $y=\sin{x}$在$(-\infin,+\infin)$内是连续的

• 设$x$是$(-\infin,+\infin)$内任取的一点,则$\Delta{y}=\sin(x+\Delta{x})-\sin{x}$
• 由三角和差化积公式:$\Delta{y}=2\sin\frac{\Delta{x}}{2}\cos\frac{2x+\Delta{x}}{2}$

• $|\cos{\frac{2x+\Delta{x}}{2}}|$=$|\cos(x+\frac{\Delta{x}}{2})|\leqslant{1}$
• $2|\sin\frac{\Delta{x}}{2}| |\cos\frac{2x+\Delta{x}}{2}|$ $\leqslant{2|\sin\frac{\Delta{x}}{2}|\cdot{1}}$

• $|\Delta{y}|$=$|2\sin\frac{\Delta{x}}{2}\cos\frac{2x+\Delta{x}}{2}|$=$2|\sin\frac{\Delta{x}}{2}| |\cos\frac{2x+\Delta{x}}{2}|$ $\leqslant{2|\sin\frac{\Delta{x}}{2}}|$
• 由不等式$|\sin{\alpha}|<|\alpha|$,$\alpha\in(-\infin,+\infin)$,所以$2|\sin\frac{\Delta{x}}{2}|\leqslant{2|\frac{\Delta{x}}{2}|}=\Delta{x}$
• 从而$0\leqslant|\Delta{y}|\leqslant{|\Delta{x}|}$
• 当$x\to{0}$,$|\Delta{x}|\to{0}$,所以由夹逼准则,$|\Delta{y}|\to{0}(\Delta x\to{0})$
• 即$y=\sin{x}$在$(-\infin,+\infin)$内连续

间断点

• 设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义,则$f(x)$在下列三种情形之一:

1. $x=x_0$处无定义
2. $x=x_0$处有定义,$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$不存在
3. $x=x_0$处有定义,$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$存在但$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)\neq{f(x_0)}$

• 则称$f(x)$在$x_0$为不连续(其实3种情形归纳为一句话就是当$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=f(x_0)$不成立)
• 点$x_0$称为函数$f(x)$的不连续点或间断点

第一类间断点

• 若$x_0$是函数$f(x)$的间断点,且左极限$f(x_0^{-})$和右极限$f(x_0^{+})$都存在,则$x_0$是$f(x)$的第一类间断点

可去间断点

• 第一类间断点中,左右极限都存在且相等$(f(x_0^{-})=f(x_0^{+})\neq{f(x_0)})$的间断点称为可去间断点

• $\lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})=A$
• $\lim_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+})=B$
• $A=B$

• 换句话说:设$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义,若$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$存在,但在$x=x_0$处无定义;或者虽然有定义,但不等于$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$(即$f(x_0)\neq\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$)
• 可去间断点是最好的间断点:可去间断点可通过补充间断点位置的点或者调整间断点处的定义,就能使得函数在该处变得连续

• 例如$f(x)=\frac{\sin{x}}{x},(x\neq{0})$,$f(0)=1,(x=0)$,则$f(x)$连续($f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$,在$x=0$处左右极限都为1)

• 例

• ${\displaystyle f(x)= {\begin{cases} 1&{\text{if }}x=0, \\x^2&{\text{if }}x\neq 0. \end{cases}}}$
• $f(x)=x^2$,$(x\neq{0})$

跳跃间断点

• 第一类间断点中,左右极限都存在但不相等$(f(x_0^{-})\neq f(x_0^{+}))$的间断点称为跳跃间断点

• 此时$f(x_0)$是否存在,存在时等于什么都无关

• 例

• ${\displaystyle \operatorname {sgn} (x):={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0, \\0&{\text{if }}x=0, \\1&{\text{if }}x>0. \end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {g} (x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0, \\1&{\text{if }}x>0. \end{cases}}}$

第二类间断点

• 第一类间断点以外的间断点属于第二类间断点,即

• $\lim\limits_{x\to{x_0^{-}}}f(x)$和$\lim\limits_{x\to{x_0^{+}}}f(x)$至少有一个不存在,称$x=x_0$为$f(x)$的第二类间断点

• 例如无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点

• 无穷间断点,例如:$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点
• 振荡间断点,例如:$g(x)={\sin\frac{1}{x}}$,在$x=0$处为振荡间断点