AM@空间直线@线线@线面位置关系

文章目录

• 空间直线

• 直线的方向向量
• 对称式方程(点向式方程)
• 参数方程
• 从一般方程到点向式方程

• 例:

• 两直线夹角

• 两直线的位置关系

• 直线与平面的夹角
• 线面位置关系

• 线面垂直
• 线面平行

空间直线

• 空间直线是空间曲线中的一种特殊情况,可以看作是某两个平面的交线
• 空间直线的一般方程可以表示为"方程组"

• $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

• 过空间中某一直线的平面总是有无数个,只需要找到其中的2个,计算交线方程即可

直线的方向向量

• 如果一个非零向量$\boldsymbol{s}$平行于一条已知直线$\boldsymbol{l}$,那么向量$\boldsymbol{s}$就是$\boldsymbol{l}$的方向向量
• 过空间一点$M$有且仅有一条直线$\boldsymbol{s}$能和已知直线$\boldsymbol{l}$平行(夹角为$0$或$\pi$)
• 因此,若直线$\boldsymbol{l}$上的某点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和方向向量$\boldsymbol{s}=(m,n,p)$已知时,直线$\boldsymbol{l}$就确定下来了

对称式方程(点向式方程)

• 设点$M(x,y,z)$是直线$L$上的任意一点,则向量$\overrightarrow{M_0M}$与$L$的方向向量$\boldsymbol{s}$平行,$\overrightarrow{M_0M}//\boldsymbol{s}$表明

• 若$mnp\neq{0}$

• $\frac{x-x_0}{m} =\frac{y-y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p}=k\neq{0} \\\\ x-x_0=km\\ y-y_0=kn\\ z-z_0=kp$

• 否则:

• 由$\boldsymbol{s}\neq{\boldsymbol{0}}$可知,$m,n,p$最多有2个为0

• 当$m,n,p$中的某一个为0时,以$m=0$为例

• $x-x_0=0k=0$
• $\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

• 当$m,n,p$中的某2个为0,以$m,n=0$为例

• $x-x_0=0k=0$
• $y-y_0=0k=0$

参数方程

• 有对称式方程容易得到参数方程:

• $\frac{x-x_0}{m} =\frac{y-y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p}=k\neq{0} \\\\ x-x_0=km\\ y-y_0=kn\\ z-z_0=kp$
• 移项得关于参数$k$得参数方程组:
  $x=km+x_0\\ y=kn+y_0\\ z=kp+z_0$

从一般方程到点向式方程

• $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
• 首先找到直线L上得任意一点

• 由于直线L的一般方程是一个包含2个3元1次方程的方程组,其具有无穷多个解(对应了直线上有无穷多个点)

• 根据线性方程组的(解的结构)相关结论可以知道,方程组的解至少包含一个自由未知量
• 更具体地,由于该方程组仅包含2个方程,因此判断他们是否称比例,如果不成比例,两个方程线性无关

• 为了找到直线L上的某一个具体的点

• 设直线L上的一点$M(x_0,y_0,z_0)$,为了确定具体的点,不妨取定一个常数,比如$x_0=1$,带入到直线一般式方程组
• 求解得到一个具体的$M$坐标

• 求解直线的方向向量

• 可以再求直线L上的另一点$N(x_1,y_1,z_1)$,则$\boldsymbol{s}=\overrightarrow{MN}$
• 或者由L的方向向量和两个平面的法向量$\boldsymbol{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$,$\boldsymbol{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$同时垂直,计算出$\boldsymbol{s}=(m,n,p)$

• $\boldsymbol{n_1\cdot{s}}=0$
• $\boldsymbol{n_2\cdot{s}=0}$
• 联立上述方程,$A_1m+B_1n+C_1p=0$;$A_2m+B_2n+C_2p=0$;可以得到用同一个字母表示作为坐标值构成的线向量,提取公因子
• 具体可以表示为:

• $p=p(p)=p \\ n=n(p)=\frac{A_1C_2-A_2C_1}{A_2B_1-A_1B_2}p \\ m=m(p)=\frac{A_2B_1n+A_2C_1p}{A_2A_1}$
  也就是$m,n,p$都可以用仅含一个未知数的p的表达式表达
• 这种方法不太方便

• 直接使用向量的外积最为直接$\boldsymbol{s=n_1\times{n_2}}$

• 根据点向式方程公式带入点和直线;

例:

• 直线L的一般方程
  $x+y+z+1=0 \\ 2x-y+3z+4=0$
• 取$x_0=1$,则方程组变为
• $y+z=-2\\ y-3z=6$
  解得:$y_0=0$,$z_0=-2$
• 从而点$M(1,0,-2)$在直线L上
• 以下有2种方法求解L的一个法向量
• 方法1:

• 取$x_0=0$,可以算得$N(0,-\frac{1}{4},-\frac{5}{4})$是L上的另一点
• 则$\overrightarrow{NM}=(1,-\frac{1}{4},-\frac{3}{4})$,可以取$\boldsymbol{s}=4\overrightarrow{NM}=(4,-1,-3)$

• 方法2:

• 利用向量外积来求L的一个方向向量
• $\boldsymbol{s=n_1\times{n_2}}=(1,1,1)\times{(1,-1,3)} =\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ 1&1&1\\ 2&-1&3 \end{vmatrix} =(4,-(1),-3)$
• 因此,可以取$\boldsymbol{s}=(4,-1,-3)$作为L的方向向量

• 所以点法式方程

• $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}$
• 
  
• 参数方程
  $x-1=4t\\ y=-t\\ z+2=-3t \\即\\ x=4t+1\\ y=-t\\ z=-3t-2$

两直线夹角

• 两直线的夹角主要借助于直线的方向向量来讨论的
• 设直线$L_i$的方向向量为$\boldsymbol{s}_i=(m_i,n_i,p_i),i=1,2$
• 两直线夹角与在讨论平面的夹角(借助于平面的法向量)时的过程相仿
• 设直线$L_1,L_2$的夹角为$\theta,\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$(直线相交产生2组对顶角,夹角一般取较小的一组,两组对顶角分别设为$\theta_1,\theta_2$,则$\theta_1+\theta_2=\pi$,$\cos\theta=|\cos\theta_1|=|\cos\theta_2|$)
• $\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|} {\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$

两直线的位置关系

• 参考平面位置关系一节
• $L_1//L_2$,$\boldsymbol{s_1\cdot{s_2}}=0$
• $L_1\perp{L_2}$,$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$(注意约定的潜在含义)

直线与平面的夹角

• 直线和平面的夹角$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$

• 当直线和平面不垂直的时候($\theta\in[0,\frac{\pi}{2})$,直线$L$在$\Pi$上的投影线$L_{p}$的夹角称为直线$L$和平面$\Pi$的夹角
• 否则规定夹角为$\frac{\pi}{2}$

• 依然借助于平面的法向量(以及直线的方向向量)来研究线面角
• $\alpha=<L,\boldsymbol{s}>$;$\theta=<L,\Pi>$;
• $\alpha\in[0,\pi]$,

• 向量间夹角范围$[0,\pi]$
• 直线与直线,直线与平面的夹角范围$[0,\frac{\pi}{2}]$

• 取$\delta=\min{(\alpha,\pi-\alpha)}$,则$\delta,\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$
• $\delta+\theta=\frac{\pi}{2}$
• 对于$\cos\alpha$可以用向量间夹角余弦公式直接计算出来
• $|\cos\alpha|=\cos{\delta}=\sin\theta$,即:

• $\sin\theta=|\cos{\alpha}| =\frac{|Am+Bn+Cp|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+m^2+p^2} }$

线面位置关系

• 设有直线$L$及其方向向量$\boldsymbol{s}=(m,n,p)$,平面$\Pi$及其法向量$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$

线面垂直

• $L\perp{\Pi}\Leftrightarrow \boldsymbol{s}//\boldsymbol{n}$,即$\boldsymbol{s}\times{n}$

• $\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{n}$

• 
  

线面平行

• $L//\Pi\Leftrightarrow{\boldsymbol{s\perp{n}}}$,即$\boldsymbol{s\cdot{n}}=0$

• $Am+Bn+Cp=0$