今儿给大家带来了关于时间序列模型，比较常见的四种算法对比。
时间序列算法模型用于分析和预测随时间变化的数据。主要模型有ARIMA、SARIMA、指数平滑法、prophet、深度学习模型（如LSTM）等等。
这些模型可以用来预测未来趋势、检测异常和分析数据中的周期性变化。
本期最佳模型
1. ARIMA
原理
ARIMA是一种常用的时间序列预测模型，综合了自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分。ARIMA模型假设时间序列是非平稳的，通过差分使其平稳，然后使用AR和MA模型进行建模。
- AR（自回归）： 使用过去的值预测未来值。
- I（差分）： 消除时间序列中的趋势，使之平稳。
- MA（移动平均）： 使用过去预测误差的线性组合来预测未来值。
核心公式
ARIMA模型的数学表示为：
- ：时间序列的当前值。
- ：常数项。
- ：自回归系数（AR部分）。
- ：移动平均系数（MA部分）。
- ：误差项。
- ：AR部分的阶数。
- ：MA部分的阶数。
差分运算：
差分的次数（即I部分的阶数）为d。
算法流程
1. 数据平稳化： 通过差分操作使时间序列平稳。
2. 选择模型阶数： 使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数 （PACF）确定p和q的值。
3. 模型拟合： 使用历史数据拟合ARIMA模型。
4. 预测： 利用拟合好的模型进行未来值的预测。
优缺点
优点：
- 对时间序列的趋势和季节性有较好的捕捉能力。
- 模型较为成熟，理论基础坚实。
缺点：
- 需要平稳时间序列，差分操作可能导致数据过度平稳化。
- 参数选择复杂（p, d, q）。
- 对于长期预测效果不佳。
适用场景
- 数据具有较强的趋势性或季节性。
- 需要短期的时间序列预测。
2. SARIMA
原理
SARIMA是ARIMA模型的扩展，专门用于处理具有季节性成分的时间序列。通过引入季节性自回归（SAR）、季节性差分（SI）和季节性移动平均（SMA）部分来建模季节性。
核心公式
SARIMA模型表示为：
- ：季节周期长度。
- ：季节性部分的AR, I, MA阶数。
- 其他符号与ARIMA模型相同。
算法流程
1. 数据平稳化： 包括常规差分和平稳化以及季节性差分。
2. 选择模型阶数： 使用ACF和PACF确定p、q、P、Q的值。
3. 模型拟合： 拟合SARIMA模型。
4. 预测： 基于模型进行预测。
优缺点
优点：
- 能处理复杂的季节性成分。
- 扩展了ARIMA模型的应用范围。
缺点：
- 模型复杂，参数更多，选择难度更大。
- 计算量较大。
适用场景
- 数据存在显著的季节性波动（如月度销售数据）。
- 需要预测带有季节性特征的时间序列。
3. 指数平滑法
原理
指数平滑法通过对历史数据进行加权平均，其中最近的数据被赋予更高的权重。它主要有三种形式：简单指数平滑、霍尔特线性趋势平滑（Holt’s Linear Trend Model）、霍尔特-温特斯季节性平滑（Holt-Winters Seasonal Model）。
核心公式
- 简单指数平滑（Simple Exponential Smoothing）：
- ：平滑系数，范围为0到1。
- ：下一时刻的预测值。
- 霍尔特线性趋势（Holt’s Linear Trend）：
- 霍尔特-温特斯季节性（Holt-Winters Seasonal）： 加入了季节性成分，可以是加法模型或乘法模型。
算法流程
1. 选择平滑系数（等）： 根据数据特点和实验结果选择。
2. 更新平滑值： 依次更新平滑值、趋势、季节性。
3. 预测未来值： 基于平滑后的值进行预测。
优缺点
优点：
- 模型简单，容易实现。
- 对短期预测效果好。
缺点：
- 对长期预测效果差。
- 参数选择对预测结果影响较大。
适用场景
- 数据没有明显的季节性，但可能存在趋势。
- 适合短期预测，适用于库存控制、需求预测等。
4. prophet
原理
prophet 是由Facebook开发的时间序列预测工具，专为处理具有强季节性和假期效应的数据而设计。它通过将时间序列分解为趋势、季节性和假期效应三个部分来建模，并使用可加性模型进行预测。
核心公式
Prophet模型的核心公式是：
- ：趋势函数（线性或逻辑回归）。
- ：季节性成分，通常是年周期。
- ：假期效应（对特定日期的修正）。
- ：误差项。
趋势函数：
- 线性趋势：
- 饱和增长：
算法流程
1. 模型分解： 将时间序列分解为趋势、季节性和假期效应。
2. 模型拟合： 使用分段线性或逻辑回归拟合趋势部分，使用 傅里叶级数拟合季节性部分，处理假期效应。
3. 预测： 将各部分预测结果叠加得到最终预测值。
优缺点
优点：
- 处理季节性和假期效应特别方便。
- 可视化好，参数易于调节。
- 适合非技术人员使用。
缺点：
- 对非季节性数据效果一般。
- 对长时间跨度的数据可能过拟合。
适用场景
- 数据具有显著的季节性或节假日效应。
- 需要快速上手并获得较好的预测结果。
- 电商销量预测、网络流量预测等。
代表案例
下面，是使用 ARIMA、SARIMA、指数平滑法（ETS）和 Prophet 进行时间序列预测的综合案例。
在这个案例中，我们使用一个虚拟的数据集，并且使用这四种方法进行预测。
最后绘制三个不同形式的图表来比较这些算法的预测结果，并详细讨论它们的适用性、性能以及调参细节。
数据生成
我们生成一个包含趋势、季节性和噪声的虚拟时间序列数据。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置随机种子以确保可重复性
np.random.seed(42)
# 生成日期范围
dates = pd.date_range(start='2020-01-01', periods=100, freq='M')
# 生成趋势、季节性和噪声
trend = np.linspace(10, 50, 100)
seasonality = 10 * np.sin(np.linspace(0, 3 * np.pi, 100))
noise = np.random.normal(scale=5, size=100)
# 创建数据集
data = trend + seasonality + noise
df = pd.DataFrame({'Date': dates, 'Value': data})
df.set_index('Date', inplace=True)
# 可视化生成的数据
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Generated Data', color='blue')
plt.title('Generated Time Series Data')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()
ARIMA 模型
ARIMA 适用于无季节性的时间序列数据。我们将对数据进行建模，并进行预测。
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
# 拟合 ARIMA 模型
arima_model = ARIMA(df['Value'], order=(5, 1, 0))
arima_result = arima_model.fit()
# 预测
df['ARIMA_Prediction'] = arima_result.predict(start=1, end=len(df), dynamic=False)
# 可视化 ARIMA 预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Actual', color='blue')
plt.plot(df.index, df['ARIMA_Prediction'], label='ARIMA Prediction', color='red')
plt.title('ARIMA Model Prediction')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()
SARIMA 模型
SARIMA 是 ARIMA 的扩展，适用于带有季节性的时间序列数据。
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
# 拟合 SARIMA 模型
sarima_model = SARIMAX(df['Value'], order=(1, 1, 1), seasonal_order=(1, 1, 1, 12))
sarima_result = sarima_model.fit()
# 预测
df['SARIMA_Prediction'] = sarima_result.predict(start=1, end=len(df), dynamic=False)
# 可视化 SARIMA 预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Actual', color='blue')
plt.plot(df.index, df['SARIMA_Prediction'], label='SARIMA Prediction', color='green')
plt.title('SARIMA Model Prediction')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()
指数平滑法 (ETS)
ETS 模型适用于具有趋势和季节性的时间序列数据。
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
# 拟合 ETS 模型
ets_model = ExponentialSmoothing(df['Value'], trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=12)
ets_result = ets_model.fit()
# 预测
df['ETS_Prediction'] = ets_result.predict(start=1, end=len(df))
# 可视化 ETS 预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Actual', color='blue')
plt.plot(df.index, df['ETS_Prediction'], label='ETS Prediction', color='purple')
plt.title('ETS Model Prediction')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()
Prophet 模型
Prophet 适用于具有复杂趋势和季节性的时间序列数据，并且在处理缺失值和异常值时表现良好。
from prophet import Prophet
# Prophet 需要特定的数据格式
df_prophet = df.reset_index().rename(columns={'Date': 'ds', 'Value': 'y'})
# 拟合 Prophet 模型
prophet_model = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=False, daily_seasonality=False)
prophet_model.fit(df_prophet)
# 预测
future = prophet_model.make_future_dataframe(periods=0)
forecast = prophet_model.predict(future)
# Prophet 结果处理
df['Prophet_Prediction'] = forecast['yhat'].values
# 可视化 Prophet 预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Actual', color='blue')
plt.plot(df.index, df['Prophet_Prediction'], label='Prophet Prediction', color='orange')
plt.title('Prophet Model Prediction')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()
综合对比分析
将所有模型的预测结果绘制在一起进行比较。
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Actual', color='black', linewidth=2)
plt.plot(df.index, df['ARIMA_Prediction'], label='ARIMA Prediction', color='red')
plt.plot(df.index, df['SARIMA_Prediction'], label='SARIMA Prediction', color='green')
plt.plot(df.index, df['ETS_Prediction'], label='ETS Prediction', color='purple')
plt.plot(df.index, df['Prophet_Prediction'], label='Prophet Prediction', color='orange')
plt.title('Comparison of Different Time Series Models')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.show()
不同形式的数据分析绘图
「残差分析图」
我们可以绘制每个模型的残差图，以观察预测误差的分布。
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(df.index, df['Value'] - df['ARIMA_Prediction'], color='red')
plt.title('ARIMA Residuals')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(df.index, df['Value'] - df['SARIMA_Prediction'], color='green')
plt.title('SARIMA Residuals')
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(df.index, df['Value'] - df['ETS_Prediction'], color='purple')
plt.title('ETS Residuals')
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(df.index, df['Value'] - df['Prophet_Prediction'], color='orange')
plt.title('Prophet Residuals')
plt.tight_layout()
plt.show()
「预测误差的分布直方图」
绘制每个模型的预测误差的分布直方图，了解误差的分布情况。
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.hist(df['Value'] - df['ARIMA_Prediction'], bins=20, color='red', alpha=0.7)
plt.title('ARIMA Prediction Error Distribution')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.hist(df['Value'] - df['SARIMA_Prediction'], bins=20, color='green', alpha=0.7)
plt.title('SARIMA Prediction Error Distribution')
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.hist(df['Value'] - df['ETS_Prediction'], bins=20, color='purple', alpha=0.7)
plt.title('ETS Prediction Error Distribution')
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.hist(df['Value'] - df['Prophet_Prediction'], bins=20, color='orange', alpha=0.7)
plt.title('Prophet Prediction Error Distribution')
plt.tight_layout()
plt.show()
「模型预测与实际值的相对误差」
绘制每个模型预测值与实际值的相对误差百分比，以更直观地比较模型的预测准确性。
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(df.index, (df['Value'] - df['ARIMA_Prediction']) / df['Value'] * 100, color='red')
plt.title('ARIMA Relative Error (%)')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(df.index, (df['Value'] - df['SARIMA_Prediction']) / df['Value'] * 100, color='green')
plt.title('SARIMA Relative Error (%)')
plt.subplot(2, 2,
3)
plt.plot(df.index, (df['Value'] - df['ETS_Prediction']) / df['Value'] * 100, color='purple')
plt.title('ETS Relative Error (%)')
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(df.index, (df['Value'] - df['Prophet_Prediction']) / df['Value'] * 100, color='orange')
plt.title('Prophet Relative Error (%)')
plt.tight_layout()
plt.show()
适用性和性能比较
- ARIMA: 适用于无季节性或季节性非常微弱的时间序列。数据中存在明显季节性时效果较差。
- SARIMA: 在数据具有季节性模式时表现良好，适合捕捉季节性和非季节性成分。
- ETS (指数平滑法): 适用于具有趋势和季节性的时间序列，在处理复杂的趋势和季节性变化时表现良好。
- Prophet: 适用于具有复杂趋势和多种季节性的时间序列，处理缺失值和突变时表现优异。
调参细节
- ARIMA: 通过调整
p、d、q参数来平衡模型的复杂度和预测性能。通常使用 AIC 或 BIC 选择最优参数。 - SARIMA: 需要调整季节性参数
P、D、Q和季节周期m。与 ARIMA 相似，可以通过网格搜索或自动化工具来选择最优参数。 - ETS: 主要调节趋势 (
additive/multiplicative) 和季节性模型类型。通过调节seasonal_periods参数匹配数据的周期性。 - Prophet: 通过调整
changepoint_prior_scale来控制趋势的灵活性。可以根据需要开启或关闭年、月、周等周期性成分。
最后
在不同的时间序列预测任务中，根据数据的特性选择合适的模型至关重要。通过这四种算法的对比，我们可以更清晰地理解各自的优缺点，并根据数据特性和任务需求进行选择和调参，从而实现更好的预测效果。
大家有问题可以直接在评论区留言即可~
