整数分解，又称质因子分解。在数学中，整数分解问题是指：给出一个正整数，将其写成几个素数的乘积的形式。
(每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。)
1.试除法（适用于范围比较小）
无论素数判定还是因子分解，试除法(Trial Division)都是首先要进行的步骤。令m=n,从2~根n一一枚举，如果当前数能够整除m，那么当前数就是n的素数因子，并用整数m
将当前数除尽为止。
若循环结束后m是大于1的整数，那么此时m也是n的素数因子。
事例如HDU1164:15mm
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define N 65535
using namespace std;
int factor[N],top;
void divide(int n)
{
for(int i=2; i<=sqrt(n+0.0); i++)
{
while(n%i==0)
{
top++;
factor[top]=i;
n/=i;
}
}
if(n!=1)
{
top++;
factor[top]=n;
}
for(int i=1; i<=top-1; i++)
{
printf("%d*",factor[i]);
}
printf("%d\n",factor[top]);
return ;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
top=0;
divide(n);
}
return 0;
}View Code
2.筛选法对整数分解
试除法进行了许多不必要的运算，先将2~根n的所有素数打表，然后对应素数表一一试除将会大大节约时间。
事例如HDU1164:0mm
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define N 65540
using namespace std;
int factor[N],top,cnt,prime[N];
bool b[N];
void make_prime()
{
top=0;
b[0]=b[1]=false;
b[2]=true;
prime[++top]=2;
for(int i=3; i<N; i++)
if(i%2==0) b[i]=false;
else b[i]=true;
double t=sqrt(1000000*1.0);
for(int i=3; i<=t; i++)
{
if(b[i])
{
prime[++top]=i;
for(int j=i*i; j<N; j=j+i)
{
b[j]=false;
}
}
}
}
void divide(int n)
{
cnt=0;
int temp=sqrt(n+0.0);
for(int i=1; i<=top; i++)
{
if(prime[i]>temp)
break;
while(n%prime[i]==0)
{
cnt++;
factor[cnt]=prime[i];
n/=prime[i];
}
}
if(n!=1)
{
cnt++;
factor[cnt]=n;
}
for(int i=1; i<=cnt-1; i++)
{
printf("%d*",factor[i]);
}
printf("%d\n",factor[cnt]);
return ;
}
int main()
{
int n;
make_prime();
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
divide(n);
}
return 0;
}View Code
3.pollard rho快速因数分解(没看懂，仅当模版用）针对于比较大的整数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。
对于因子很少，因子值却很大的数n，该方法不是很有效。
模版：
POJ1181:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
#define Time 15 //随机算法判定次数，Time越大，判错概率越小
using namespace std;
ll n,ans,factor[10001];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
ll tol;//质因数的个数，数组下标从0开始
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
long long mult_mod(ll a,ll b,ll c)//计算 (a*b)%c. a,b都是ll的数，直接相乘可能溢出的
{
a%=c;// 利用二分思想减少相乘的时间
b%=c;
ll ret=0;
while(b)
{
if(b&1)
{
ret+=a;
ret%=c;
}
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)//x^n%n
{
if(n==1)return x%mod;
x%=mod;
ll tmp=x;
ll ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
//二次探测
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
ll ret=pow_mod(a,x,n);
ll last=ret;
for(int i=1; i<=t; i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(ll n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2||n==3||n==5||n==7)return true;
if(n==1||(n%2==0)||(n%3==0)||(n%5==0)||(n%7==0)) return false;//偶数
ll x=n-1;
ll t=0;
while((x&1)==0)
{
x>>=1;
t++;
}
for(int i=0; i<Time; i++)
{
ll a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
if(check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
ll gcd(ll a,ll b)
{
if(a==0)return 1;
if(a<0) return gcd(-a,b);
while(b)
{
long long t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}
ll Pollard_rho(ll x,ll c)
{
ll i=1,k=2;
ll x0=rand()%x;
ll y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
long long d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k)
{
y=x0;
k+=k;
}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(ll n)
{
if(Miller_Rabin(n))//素数
{
factor[tol++]=n;
return;
}
ll p=n;
while(p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);//递归调用
findfac(n/p);
}
int main()
{
int T;
//srand(time(NULL));加上RE不懂
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld",&n);//(n>=2)
/*if(n==1)
{
printf("1\n");
continue;
}*/
if(Miller_Rabin(n))
{
printf("Prime\n");
continue;
}
tol=0;
findfac(n);//对n分解质因子
ll ans=factor[0];
for(int i=1; i<tol; i++)
if(factor[i]<ans)
ans=factor[i];
/*for(int i=0;i<tol;i++)
{
printf("%lld\n",factor[i]);
}*/
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}View Code
Kuangbin写的。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
// a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
a%=c;
b%=c;
long long ret=0;
while(b)
{
if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
a<<=1;//别手残，这里是a<<=1,不是快速幂的a=a*a;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
//计算 x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
if(n==1)return x%mod;
x%=mod;
long long tmp=x;
long long ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
long long ret=pow_mod(a,x,n);
long long last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(long long n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2)return true;
if((n&1)==0) return false;//偶数
long long x=n-1;
long long t=0;
while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
for(int i=0;i<S;i++)
{
long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
if(check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始
long long gcd(long long a,long long b)
{
if(a==0)return 1;//???????
if(a<0) return gcd(-a,b);
while(b)
{
long long t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}
long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
long long i=1,k=2;
long long x0=rand()%x;
long long y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
long long d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k){y=x0;k+=k;}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
if(Miller_Rabin(n))//素数
{
factor[tol++]=n;
return;
}
long long p=n;
while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}
int main()
{
// srand(time(NULL));//需要time.h头文件 //POJ上G++要去掉这句话
int T;
long long n;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%I64d",&n);
if(Miller_Rabin(n))
{
printf("Prime\n");
continue;
}
tol=0;
findfac(n);
long long ans=factor[0];
for(int i=1;i<tol;i++)
if(factor[i]<ans)
ans=factor[i];
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
