作者：Cat-shao
Part 1 我学它干啥？
树状数组，Binary Indexed Tree（简称BIT），是由Peter M. Fenwick在1994年发明的
——百度百科
名字十分高大上，那么它是干什么的呢？
求和
求和是树状数组中的一个应用，并不是只能求和，本文使用求和作为例子。
现在有一个数组a，我们需要求很多次数组中不同区间的和，而且多次对a中随意一项进行更改。
比如说a = {0, 1, 5, 3, 2, 4}
第一次求[1, 3]，得到1 + 5 + 3 = 9
第二次求[2, 4]，得到5 + 3 + 2 = 10
第三次，这时候我把a[2] += 2
第四次求[1, 5]，得到1 + 7 + 3 + 2 + 4 = 17
[l, r]表示从下标l开始，到r结束的区间，包含l和r。l: left
r: right
这时候很多同学想到的第一个方法，就是直接挨个加起来不就好了吗？
可此题暗藏玄机，我们要进行多次求和啊，每一次都重新计算太慢，能不能提前加好一些区域，反复使用呢？
这就要请出我们的主角了——树状数组
Part 2 lowbit
树状数组的结构十分精妙，其中离不开一个基本运算——lowbit
lowbit(i) 可以解释为：i中最低位的1以及后面的0；或者你可以把它理解成i能被n整除，n还可以写成2k
一种lowbit的实现方式为lowbit(x) = x & -x
long long lowbit(long long x) {
return x & -x;
}
还是拿172举例子，化成二进制后我们发现除了尾部的100相同之外，其他位都不同，使用按位与能得到lowbit的值
Part 3 树状数组
既然名字叫树状数组，那它必然是个数组，可外表下藏着二叉树的结构。
精巧的结构与lowbit密不可分，真是妙极了。
以下内容中，我们在这里管原始的数组叫做a，树状数组（经过处理）叫做bit，三个图中的数字均为下标，不是值！
结构
bit中存放了多个数的和，那么具体存了几个，在哪里呢？
我们规定，bit[i]中存从右往左数lowbit(i)个数。
bit[i] = 在数组a中从 i - lowbit(i) + 1 到 i 求和
更改单个数值
首先，更改数据可以转换成加法，我们这里讨论加法，和更改是一样的。
挨个加起来时，更改a[i]只需要动它一个就可以了。
可是在树状数组中，可能有好几项，都包括这个a[i]。
拿a[3]来举例子吧。
bit[3] 对应 a的[3, 3] 的和
bit[4] 对应 a的[1, 4] 的和
bit[8] 对应 a的[1, 8] 的和
bit[16] 对应 a的[1, 16] 的和
以上四个bit中的值都需要更改
在图中，我们可以看出，4在3头上，8在4头上，16在8头上。我们只需要找到一种方式，得到一个块 头上的块，然后使用循环能推出整串。
如何找到自己头上的数呢？
图中的6和橘色没关系，是第二组例子
我们发现，在当前块的位置加上当前块的长度之后能跳到头上。
我是这么理解的：加上一个当前块后会把局部的空缺补上，合并成了一块，而这块也许也补了更大的空缺，这样就一次跳了好几级
上文定义规定了第i个块长度 = lowbit(i)，拿来用即可。
c++实现：
void add(int index, long long value) {
while (index <= n) { // 更新直到最大的块
node[index] += value; // 更新当前的块
index += lowbit(index); // 加上一个自己的长度，补上空缺，得到下一个块
}
}
区间求和
先考虑[1, r]的求和
从右往左取块，将块代表的数值加起来即可
图中的例子：
第一次取到13，长度为
lowbit(13) = 1第二次13取完了从12开始取，长度为4，一次性将
[9, 12]取完第三次
[9, 13]取完了从8开始，长度为8，取走[1, 8]，到此[1, 13]全部取走
c++实现
long long sum(int index) {
long long sum = 0;
while (index > 0) {
sum += node[index];
index -= lowbit(index);
}
return sum;
}
那如果求和左端点不在1处呢？
对[l, r]求和，可以写成sum(r) - sum(l - 1)
先把大区域[1, r]求出来，然后扣掉[1, l - 1]的部分，不就是[l, r]吗？
构造
以上的“幻想”只是存在于树已经有了之后，如何根据数组a（原始数组），来构造一棵树呢？
一个简单的方法：
- 把数组bit全初始化为0
- 遍历整个数组a
- 对于每一个数组a[i]，都对bit进行
add(i, a[i])
每一次add之后都能保证树状数组是正确的，全加一遍后自然构建出一整棵树。
时间复杂度对比
下面的暴力指的是开头提到的挨个相加。
- 求和
- 暴力：
O(n)（挨个相加，加n次） - 树状数组：
O(log n)（结构与二叉树相仿）
- 更改
- 暴力：
O(1)（改一次即可） - 树状数组：
O(log n)（需要改一串，但结构与二叉树相仿）
- 构造
- 暴力：
O(n)（当做是读入的复杂度） - 树状数组：
O(n log n)（做n次加法，每次加法为log n）
树状数组适合在：多次求和，多次修改，数据量大的场景下使用。
如果无需支持修改，建议使用前缀和，构造
O(n)，求和O(1)
代码
下面给出的是C++代码。
BITMain为树状数组的使用案例，对应洛谷 树状数组https://www.luogu.com.cn/problem/P3374。
//
// Created by Cat-shao on 2021/2/9.
//
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const long long MAX_N = 5000100;
long long lowbit(long long x) {
return x & -x;
}
class BIT {
public:
long long node[MAX_N], n;
BIT(int _n) {
memset(node, 0, sizeof(node));
n = _n;
}
long long sum(int index) {
long long sum = 0;
while (index > 0) {
sum += node[index];
index -= lowbit(index);
}
return sum;
}
void add(int index, long long value) {
while (index <= n) {
node[index] += value;
index += lowbit(index);
}
}
};
int BITMain()
{
// https://www.luogu.com.cn/problem/P3374
int n, m, op, x, y;
long long value;
scanf("%d%d", &n, &m);
BIT tree = BIT(n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%lld", &value);
tree.add(i, value);
}
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
if (op == 1) {
tree.add(x, y);
} else if (op == 2) {
printf("%lld\n", (tree.sum(y) - tree.sum(x - 1)));
}
}
return 0;
}
int main()
{
BITMain();
}
