D e s c r i p t i o n \mathcal{Description} Description
桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。
S o l u t i o n \mathcal{Solution} Solution
设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示有 i i i张红牌， j j j张黑牌的期望收益
考虑翻一张牌，有两种情况
- 有 \frac{i}{i+j} i+ji的概率翻到红牌，此后就只有 i−1张红牌， j张黑牌
- 有
\frac{j}{i+j}
i+jj的概率翻到黑牌，此后就只有
i张红牌，
j−1张黑牌
需要注意的是，不要忘了翻开的牌的贡献
翻开一张牌后，该颜色牌数目就少了一张
所以有
f [ i ] [ j ] = i i + j ( f [ i − 1 ] [ j ] + 1 ) + j i + j ( f [ i ] [ j − 1 ] − 1 ) f[i][j]=\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1) f[i][j]=i+ji(f[i−1][j]+1)+i+jj(f[i][j−1]−1)
由于是最优策略，所以咱是不可能赔钱的
f [ i ] [ j ] = m a x ( 0 , i i + j ( f [ i − 1 ] [ j ] + 1 ) + j i + j ( f [ i ] [ j − 1 ] − 1 ) ) f[i][j]=max(0,\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1)) f[i][j]=max(0,i+ji(f[i−1][j]+1)+i+jj(f[i][j−1]−1))
初值 f [ 0 ] [ 1 ] = 0 , f [ 1 ] [ 0 ] = 1 f[0][1]=0,f[1][0]=1 f[0][1]=0,f[1][0]=1，答案为 f [ R ] [ B ] f[R][B] f[R][B]
应正向循环
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