[HNOI2015]亚瑟王[期望DP]

原创

锐* 2021-12-27 15:45:07 博主文章分类：DP ©著作权

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D e s c r i p t i o n \mathcal{Description} Description

给出 n n n个技能，每个技能按输入顺序有 p [ i ] p[i] p[i]的概率释放并造成 d [ i ] d[i] d[i]的伤害。每轮游戏从前往后顺序查看每个技能，若技能发动过则跳过，没发动过则以 p [ i ] p[i] p[i]的技能发动，即每个技能只能发动一次，若将一个技能发动，则进行下一轮游戏，没有成功发动或被跳过就查看下一个技能，一轮游戏可能每个技能都不发动，问 r r r轮游戏一共能造成的伤害期望。

输入方式

T组数据

接下来组数据

每组数据第一行 n , r n,r n,r

接下来 n n n行 p i , d i p_i,d_i pi,di表示该技能发动概率以及伤害

1 < = T < = 444 ， 1 < = n < = 220 ， 0 < = r < = 132 ， 0 < p i < 1 ， 0 < = d i < = 1000 1 <= T <= 444， 1 <= n <= 220， 0 <= r <= 132， 0 < p_i < 1， 0 <= d_i <= 1000 1<=T<=444，1<=n<=220，0<=r<=132，0<pi<1，0<=di<=1000

输出格式

每组数据输出一行期望伤害，建议保留 10 10 10位小数

S o l u t i o n \mathcal{Solution} Solution

因为有一个顺序查看的限制，没有后效性的状态是十分不好设的，因为不知道前面有几个技能发动了，若一个技能前面的技能在某轮发动了，则该技能本轮一定不能发动，若前面有些技能发动过，则它们都会被跳过

为了解决这种情况，我们设状态时试着强制限制技能发动（ n r nr nr枚举情况），当然，设的状态仍然要满足所有情况都考虑在内

设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示对前 i i i个技能进行了 j j j轮游戏造成的概率

若有前 i i i个技能进行了 j j j

则有 j j j轮不会考虑第 i + 1 i+1 i+1个技能

即有 r − j r-j r−j轮游戏选择了 i i i之后的技能

此时考虑第 i + 1 i+1 i+1个技能的情况，分为两种

有 p[i+1]^{r-j} p[i+1]r−j的概率 i+1号技能从未发动
有 1-p[i+1]^{r-j} 1−p[i+1]r−j的概率 i+1 i+1号技能发动过

需要注意的是，此时已经确定前 i i i个技能进行并 只进行 了 j j j轮游戏，其概率应该也计算在内

所以有

f[i+1][j]+=1-p[i+1]^{r-j}f[i][j] f[i+1][j]+=1−p[i+1]r−jf[i][j]
f[i+1][j+1]+=(1-p[i+1]^{r-j})f[i][j] f[i+1][j+1]+=(1−p[i+1]r−j)f[i][j]

j + 1 j+1 j+1要小于等于 r r r

初值 f [ 0 ] [ 0 ] = 1 f[0][0]=1 f[0][0]=1，答案在中途计算

计算了概率，别忘了求的是期望伤害，在求概率的时候顺便用概率乘以伤害

C o d e \mathcal{Code} Code

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年07月22日 星期一 14时17分22秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 255;
int T,n,r;
double ans;
double p[maxn],d[maxn];
double f[maxn][maxn];
int main()
{
  scanf("%d",&T);
  while (T--){
    scanf("%d%d",&n,&r);
    for (int i=1;i<=n;++i)  scanf("%lf%lf",&p[i],&d[i]);
    for (int i=0;i<=n;++i)
      for (int j=0;j<=r;++j)
        f[i][j]=0;
    ans=0,f[0][0]=1;
    for (int i=0;i<=n-1;++i){
      int k=min(i,r);
      for (int j=0;j<=k;++j){
        double tmp=pow(1-p[i+1],r-j);
        f[i+1][j]+=f[i][j]*tmp;
        if (j+1<=r){
          f[i+1][j+1]+=f[i][j]*(1-tmp);
          ans+=f[i][j]*(1-tmp)*d[i+1];//计算第i+1张牌造成的期望伤害
        }
      }
    }
    printf("%.10lf\n",ans);
  }
  return 0;
}