目录
一，积性函数
1，积性、完全积性
积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
完全积性函数指对于所有的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
2，性质
若f可积，则 
若f可积，则
可积，
可积
1，莫比乌斯函数 μ
①μ(1)=1
②μ(p₁p₂……pₐ)=(-1)^a，其中a个p为不同素数。
③其余情况μ(d)=0
即，有素因子的平方的，函数值为0，没有平方的话，函数值为-1的素因子个数次方。
2，性质
μ 是积性函数
当n>1时，
1，莫比乌斯反演
若，则
反之，若，则
2，性质
（1）设f是数论函数，它的和函数 
是积性函数，那么f也是积性函数。
（2）若函数f满足f(1)=1， 当n>1时，
，则f是积性函数，进一步可推出f就是μ
3，欧拉函数的反演
，故
五，OJ实战
POJ - 1091 跳蚤
Description
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。
Input
两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。
Output
可以完成任务的卡片数。
Sample Input
2 4
Sample Output
12
我看很多人都是用容斥原理，直接求出答案。也有很多人用容斥原理推出表达式，然后计算这个表达式。
我觉得用容斥原理还是一个不错的思路的，不过我是用别的方法做的，得到的表达式是一样的。
枚举所有数的gcd，可以得到m^n=∑(f(d,n)) for all d that d|m
其中f就是表示本题需要求的东西。
根据积性函数的特性，只需要求出f(p^k,n)即可求出f(m,n)
f(p^k,n)=p^(k*n)*(1-1/p^n) (这个地方要注意运算顺序，不能把1/p^n直接弄成0了)
设m的不同的素因子分别为p1,p2,p3......pl
那么，f(m,n)=m^n*(1-1/p1^n)(1-1/p2^n)(1-1/p3^n)......(1-1/pl^n)
代码：
import java.util.*;
import java.math.BigInteger;
public class Main {
public static void f(int m, int n)
{
BigInteger s=new BigInteger("1");
for (int p = 2; p*p <= m; p++)
{
if (m%p == 0)
{
BigInteger pn =new BigInteger("1");
for (int j = 1; j <= n; j++)
pn=pn.multiply(BigInteger.valueOf(p));
BigInteger pnk =new BigInteger("1");
while (m%p == 0)
{
m /= p;
pnk=pnk.multiply(pn);
}
BigInteger pnk1=new BigInteger("0");
pnk1=pnk1.add(pnk);
s=s.multiply(pnk1.subtract(pnk.divide(pn)));
}
}
if (m > 1)
{
BigInteger pn =new BigInteger("1");
for (int j = 1; j <= n; j++)pn=pn.multiply(BigInteger.valueOf(m));
s=s.multiply(pn.subtract(BigInteger.valueOf(1)));
}
System.out.println(s.toString());
}
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n=Integer.parseInt(cin.next());
int m=Integer.parseInt(cin.next());
f(m,n);
}
}HYSBZ - 2301 Problem b
题目：
对于给出的 n 个询问，每次求有多少个数对 (x,y) ，满足 a ≤ x ≤ b ， c ≤ y ≤ d ，且gcd(x,y) = k ， gcd(x,y) 函数为 x 和 y 的最大公约数。Input
第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k
Output
共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
Sample Input
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
Sample Output
14
3
Hint
100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000
思路：
首先把问题化简成，求有多少个数对(x,y)满足1<=x<=n,1<=y<=m且gcd(x,y)=1
这里我们只需要求f(1)即可
优化的关键是快速枚举除法取值，太厉害了
代码：
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 50000;
bool prime[N];
int u[N], su[N];//su是u的前缀和
void getu()
{
for (int i = 0; i < N; i++)prime[i] = true, u[i] = 1;
prime[1] = false;
for (int i = 2; i < N; i++)if (prime[i])for (int j = 1; i* j < N; j++)
prime[i*j] = false, u[i*j] *= -1 * (j%i != 0);
su[0] = u[0];
for (int i = 1; i < N; i++)su[i] = su[i - 1] + u[i];
}
int f(int n, int m)//有多少个数对(x,y)满足1<=x<=n,1<=y<=m且gcd(x,y)=1
{
int res = 0;
for (int i = 1, key; i <= n && i <= m; i = key + 1)
{
key = min(n / (n / i), m / (m / i));
res += (n / i)*(m / i)*(su[key] - su[i - 1]);
}
return res;
}
int main()
{
int n, a, b, c, d, k;
scanf("%d", &n);
getu();
while (n--)
{
scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);
a--, c--;
a /= k, b /= k, c /= k, d /= k;
printf("%d\n", f(b, d) - f(a, d) - f(b, c) + f(a, c));
}
return 0;
}HYSBZ - 2440 完全平方数
题目：
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？
Input
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。
Output
含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。
Sample Input
4
1
13
100
1234567
Sample Output
1
19
163
2030745
Hint
对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,T ≤ 50
思路：
首先算出莫比乌斯函数前面若干项，
然后有个函数f计算前n个数有多少个不是完全平方数的倍数，
最后根据这个函数来二分，查找满足f(n)=k的最小n
因为一开始的满足f(n)=k的最小n肯定小于2k，所以n的范围是2*10^9，那么莫比乌斯函数算出前50000个即可，
这个估算是必不可少的，因为题目没说答案一定在int的范围内。
至于为什么满足f(n)=k的最小n肯定小于2k，这个可以计算
因为f(n)/n=(1-1/2/2)*(1-1/3/3)*(1-1/5/5)...... >0.5
所以f(n)>0.5n
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 50000;
bool prime[N];
int u[N];
void getu()
{
for (int i = 0; i < N; i++)prime[i] = true, u[i] = 1;
prime[1] = false;
for (int i = 2; i < N; i++)if (prime[i])for (int j = 1; i* j < N; j++)
prime[i*j] = false, u[i*j] *= -1 * (j%i != 0);
}
int f(int n)//前n个数有多少个不是完全平方数的倍数
{
int r = 0;
for (int i = 1; i*i <= n; i++)r += u[i] * n / i / i;
return r;
}
int main()
{
getu();
int t, k;
cin >> t;
while (t--)
{
cin >> k;
int low = 1, high = k * 2; //二分查找满足f(n)=k的最小n
while (low < high)
{
int mid = (high - low) / 2 + low;
if (f(mid) < k)low = mid + 1;
else high = mid;
}
cout << low << endl;
}
return 0;
}
