最小高度树
题目
给定一个有序整数数组，元素各不相同且按升序排列，编写一个算法，创建一棵高度最小的二叉搜索树。
示例
解题思路
首先我们先复习一下二叉搜索树的定义：对于树中的所有子树，左子树上的值都小于根节点的值，右子树上的值都大于根节点上的值。通过中序遍历可以得到一个升序序列。
那如何保证高度最小呢？
既然是要构成深度最小的数，那么数就应该尽可能的饱满，当树中的任意结点的左右子树高度差都不超过 1 时，整棵树的深度最小，所以我们就选择数组的中间点，那么左边和右边都是同样的大小。
下面是一种构造最小高度树的思路：
如果序列长度为 0，那么是一棵空树。
如果序列长度为 1，那么只有一个根节点。
如果长度大于 1，那么选取中间位置的数赋给根节点，然后前一半递归构建左子树，后一半递归构建右子树。
代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums){
// 序列长度为 0，那么是一棵空树。
if (nums.length == 0) {
return null;
}
return createMinHeightBST(nums, 0, nums.length-1);
}
public TreeNode createMinHeightBST(int[] nums, int start, int{
if (start > end) {
return null;
}
// 选取中间位置
int mid = (start + end) >> 1;
//填充根节点
TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
//构造左子树
root.left = createMinHeightBST(nums, start, mid - 1);
//构造右子树
root.right = createMinHeightBST(nums, mid + 1, end);
return
复杂度分析
- 数组中的元素都使用1次，时间复杂度为O(n).
- 递归使用栈辅助空间，空间复杂度O(log(n)).
二叉树的坡度
题目
给定一个有序整数数组，元素各不相同且按升序排列，编写一个算法，创建一棵高度最小的二叉搜索树。
示例
解题思路
首先我们先复习一下二叉搜索树的定义：对于树中的所有子树，左子树上的值都小于根节点的值，右子树上的值都大于根节点上的值。通过中序遍历可以得到一个升序序列。
那如何保证高度最小呢？
既然是要构成深度最小的数，那么数就应该尽可能的饱满，当树中的任意结点的左右子树高度差都不超过 1 时，整棵树的深度最小，所以我们就选择数组的中间点，那么左边和右边都是同样的大小。
下面是一种构造最小高度树的思路：
如果序列长度为 0，那么是一棵空树。
如果序列长度为 1，那么只有一个根节点。
如果长度大于 1，那么选取中间位置的数赋给根节点，然后前一半递归构建左子树，后一半递归构建右子树。
代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums){
// 序列长度为 0，那么是一棵空树。
if (nums.length == 0) {
return null;
}
return createMinHeightBST(nums, 0, nums.length-1);
}
public TreeNode createMinHeightBST(int[] nums, int start, int{
if (start > end) {
return null;
}
// 选取中间位置
int mid = (start + end) >> 1;
//填充根节点
TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
//构造左子树
root.left = createMinHeightBST(nums, start, mid - 1);
//构造右子树
root.right = createMinHeightBST(nums, mid + 1, end);
return
复杂度分析
- 数组中的元素都使用1次，时间复杂度为O(n).
- 递归使用栈辅助空间，空间复杂度O(log(n)).
二叉树的最大深度
题目：
给定一个二叉树，找出其最大深度。
二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。
示例：
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]
返回它的最大深度 3.
解题思路
由题目可知：找树的最大深度，说白了就是这棵树有几层。
这里我们用递归的思想去解决问题，我们让左子树算左子树的深度，右子树算右子树的深度。
按照递归三部曲：
- 确定递归函数的参数和返回值：参数就是传入树的根节点，返回就返回这棵树的深度，所以返回值为 int 类型。
- 结束条件：如果节点为空，则返回0（该方法也处理了二叉树根节点为空的情况）。
- 递归函数主功能：先求它的左子树的深度，再求的右子树的深度，最后取左右深度最大的数值 再 +1 （加1是因为算上当前中间节点）就是目前节点为根节点的树的深度。
代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode() {}
* TreeNode(int val) { this.val = val; }
* TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
* this.val = val;
* this.left = left;
* this.right = right;
* }
* }
*/
class Solution {
public int maxDepth(TreeNode root) {
return root == null ? 0 : Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1;
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 为二叉树的节点个数。与方法一同样的分析，每个节点只会被访问一次。
- 空间复杂度：此方法空间的消耗取决于队列存储的元素数量，其在最坏情况下会达到 O(n)。
二叉树的坡度
题目
给定一个二叉树，计算 整个树 的坡度 。
一个树的 节点的坡度 定义即为，该节点左子树的节点之和和右子树节点之和的 差的绝对值 。如果没有左子树的话，左子树的节点之和为 0 ；没有右子树的话也是一样。空结点的坡度是 0 。
整个树 的坡度就是其所有节点的坡度之和。
示例1：
输入：root = [1,2,3]
输出：1
解释：
节点 2 的坡度：|0-0| = 0（没有子节点）
节点 3 的坡度：|0-0| = 0（没有子节点）
节点 1 的坡度：|2-3| = 1（左子树就是左子节点，所以和是 2 ；右子树就是右子节点，所以和是 3 ）
坡度总和：0 + 0 + 1 = 1
示例2：
输入：root = [4,2,9,3,5,null,7]
输出：15
解释：
节点 3 的坡度：|0-0| = 0（没有子节点）
节点 5 的坡度：|0-0| = 0（没有子节点）
节点 7 的坡度：|0-0| = 0（没有子节点）
节点 2 的坡度：|3-5| = 2（左子树就是左子节点，所以和是 3 ；右子树就是右子节点，所以和是 5 ）
节点 9 的坡度：|0-7| = 7（没有左子树，所以和是 0 ；右子树正好是右子节点，所以和是 7 ）
节点 4 的坡度：|(3+5+2)-(9+7)| = |10-16| = 6（左子树值为 3、5 和 2 ，和是 10 ；右子树值为 9 和 7 ，和是 16 ）
坡度总和：0 + 0 + 0 + 2 + 7 + 6 = 15
示例3：
输入：root = [21,7,14,1,1,2,2,3,3]
输出：9
解题思路
根据题意可知，树的坡度就是其所有节点的坡度之和，所以我们可以设计递归函数计算每个节点的坡度。
具体思路如下：
- 要计算每个节点的坡度，就要计算每个节点的 左子树的节点之和 与 右子树的节点之和；
- 左子树的节点之和 = 左子树根节点的值 + 左子树的左子树节点之和 + 左子树的右子树节点之和；
- 继续这样分解下去，直到分解到空树，空树的节点之和为0，作为递归出口；
代码实现
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode() {}
* TreeNode(int val) { this.val = val; }
* TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
* this.val = val;
* this.left = left;
* this.right = right;
* }
* }
*/
class Solution {
// 坡度
private int tilt = 0;
public int findTilt(TreeNode root) {
traverse(root);
return tilt;
}
public int traverse(TreeNode root) {
// 终止条件，空树的节点之和为0
if (root == null) {
return 0;
}
// 计算当前节点的左子树节点之和
int left = traverse(root.left);
// 计算当前节点的右子树节点之和
int right = traverse(root.right);
// 计算当前节点的坡度并加入结果
tilt += Math.abs(left - right);
// 返回以当前节点为根的整棵树的节点之和
return
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 是结点的数目。每个结点访问一次。
- 空间复杂度：递归使用栈辅助空间，空间复杂度为O(n)。
我是杰少
