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搜索与图论（二）
这一节讲的是最短路。
常见的最短路问题，一般分为两大类：
- 单源最短路
- 多源汇最短路
在最短路问题中，源点也就是起点，汇点也就是终点。
单源最短路
单源最短路，指的是求一个点，到其他所有点的最短距离。（起点是固定的，单一的）
根据是否存在权重为负数的边，又分为两种情况
- 所有边的权重都是正数通常有两种算法
- 朴素Dijkstra
时间复杂度O(n2)，其中n是图中点的个数，m是边的个数 - 堆优化版的Dijkstra
时间复杂度O(mlogn)
- 两者孰优孰劣，取决于图的疏密程度（取决于点数n，与边数m的大小关系）。当是稀疏图（n和m是同一级别）时，可能堆优化版的Dijkstra会好一些。当是稠密图时（m和n2是同一级别），使用朴素Dijkstra会好一些。
- 存在权重为负数的边通常有两种算法
- Bellman-Ford
时间复杂度O(nm) - SPFA
时间复杂度一般是O(m)，最差O(nm)，是前者的优化版，但有的情况无法使用SPFA，只能使用前者，比如要求最短路不超过k条边，此时只能用Bellman-Ford
多源汇最短路
求多个起点到其他点的最短路。（起点不是固定的，而是多个）
Floyd算法（时间复杂度O(n3)）
最短路问题的核心在于，把问题抽象成一个最短路问题，并建图。图论相关的问题，不侧重于算法原理，而侧重于对问题的抽象。
Dijkstra基于贪心，Floyd基于动态规划，Bellman-Ford基于离散数学。
算法的选用：通常来说，单源最短路的，如果没有负权重的边，用Dijkstra，有负权重边的，通常用SPFA，极少数用Bellman-Ford；多源最短路的，用Floyd。
算法思路
朴素Dijkstra
假设图中一共有n个点，下标为1~n。下面所说的某个点的距离，都是指该点到起点（1号点）的距离。
算法步骤如下，用一个集合s来存放最短距离已经确定的点。
- 初始化距离，
d[1] = 0， d[i] = +∞。即，将起点的距离初始化为0，而其余点的距离当前未确定，用正无穷表示。 - 循环
每次从距离已知的点中，选取一个不在s集合中，且距离最短的点（这一步可以用小根堆来优化），遍历该点的所有出边，更新这些出边所连接的点的距离。并把该次选取的点加入到集合s中，因为该点的最短距离此时已经确定。 - 当所有点都都被加入到
s中，表示全部点的最短距离都已经确定完毕
注意某个点的距离已知，并不代表此时这个点的距离就是最终的最短距离。在后续的循环中，可能用一条更短距离的路径，去更新。
练习题：acwing - 849: Dijkstra求最短路 I
题解（C++）
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 正无穷
int g[N][N]; // 稠密图采用邻接矩阵存储
int d[N]; // 距离
int n, m;
bool visited[N];
int dijkstra() {
d[1] = 0;
// 每次
for(int i = 1; i <= n; i++) {
//找到一个距起点距离最小的点
int t = 0; // d[0]未被使用, 其值一直是 INF
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(!visited[j] && d[j] < d[t]) {
t = j;
}
}
if(t == 0) break; // 未找到一个点, 提前break
// 找到该点
visited[t] = true; // 放入集合s
// 更新其他所有点的距离
for(int i = 1; i <= n; i++) {
d[i] = min(d[i], d[t] + g[t][i]);
}
}
if(d[n] == INF) return -1;
else return d[n];
}
int main() {
// 初始化
memset(d, 0x3f, sizeof d);
memset(g, 0x3f, sizeof g);
scanf("%d%d", &n, &m);
while(m--) {
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
g[x][y] = min(g[x][y], z); // 重复边只需要保留一个权重最小的即可
}
printf("%d", dijkstra());
return 0;
}
题解（Java）
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
/**
* @Author yogurtzzz
* @Date 2021/6/25 9:01
*
* 稠密图, 使用邻接矩阵存储
**/
public class Main {
static final int INF = 0x3f3f3f3f;
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n, m;
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
int[][] g = new int[n + 1][n + 1]; // 图的邻接矩阵存储
for(int i = 0; i < n + 1; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) g[i][j] = INF; // 初始化全部距离为正无穷
}
while(m-- > 0) {
int x, y, z;
x = scanner.nextInt();
y = scanner.nextInt();
z = scanner.nextInt();
g[x][y] = Math.min(g[x][y], z); // 解决重边, 保留最小距离的边即可
}
System.out.println(dijkstra(g, n));
}
/**
* @param g 图的邻接矩阵表示
* @param n 图中点的个数
* **/
static int dijkstra(int[][] g, int n) {
int[] distance = new int[n + 1];
boolean[] visited = new boolean[n + 1]; //状态变量
Arrays.fill(distance, INF); // 初始化距离为正无穷
distance[1] = 0; // 起点的距离为0
// 循环n次
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 先找出距离最小的点
int min = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if (!visited[j] && distance[j] < distance[min]) {
min = j;
}
}
if (min == 0) break; // 所有点都遍历结束
// 找到了距离最小的点
visited[min] = true; // 这里是为了解决自环
// 更新距离, 枚举所有列
for(int j = 1; j <= n; j++) {
// 当存在一个出边时, 更新其距离
if (g[min][j] != INF) distance[j] = Math.min(distance[j], distance[min] + g[min][j]);
}
}
if (distance[n] == INF) return -1;
else return distance[n];
}
}
堆优化版Dijkstra
堆可以自己手写（用数组模拟），也可以使用现成的（C++的STL提供了priority_queue，Java的JDK中提供了PriorityQueue）
特别注意，插入堆的操作，由于更新距离时，可能对一些距离已知的点进行更新（更新为更小的距离），此时不能因为这个点已经在堆中就不进行插入了，因为其距离已经变了，堆中原有的节点已经无效了，按理说，应该修改堆中对应节点的距离值，然后做调整，实际上，可以直接插入一个新的节点（此时对于同一个节点，堆中有两份），但没有关系，堆中的重复节点不会影响最终的结果。
练习题：acwing - 850: Dijkstra求最短路 II
题解：手写堆（C++）
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e6, INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int d[N];
int hPos[N], hDis[N], hSize;
bool st[N];
int n, m, x, y, z;
void add(int x, int y, int z) {
e[idx] = y;
w[idx] = z;
ne[idx] = h[x];
h[x] = idx++;
}
void heap_swap(int i, int j) {
swap(hPos[i], hPos[j]);
swap(hDis[i], hDis[j]);
}
void up(int pos) {
while(pos > 1 && hDis[pos / 2] > hDis[pos]) {
heap_swap(pos / 2, pos);
pos /= 2;
}
}
void down(int pos) {
int mx = pos;
if(2 * pos <= hSize && hDis[2 * pos] < hDis[mx]) mx = 2 * pos;
if(2 * pos + 1 <= hSize && hDis[2 * pos + 1] < hDis[mx]) mx = 2 * pos + 1;
if(mx != pos) {
heap_swap(mx, pos);
down(mx);
}
}
void insert_to_heap(int x, int dis) {
hSize++;
hPos[hSize] = x;
hDis[hSize] = dis;
up(hSize);
}
void dijkstra() {
d[1] = 0;
insert_to_heap(1, 0);
// 当堆非空时，执行
while(hSize > 0) {
int x = hPos[1];
heap_swap(1, hSize--);
down(1);
if(st[x]) continue; // 由于堆中可能存在重复的节点, 需要判断, 否则会超时
st[x] = true; // 拿出来后, 该点的距离就已经确定
for(int j = h[x]; j != -1; j = ne[j]) {
int u = e[j];
if(d[u] > d[x] + w[j]) {
d[u] = d[x] + w[j];
insert_to_heap(u, d[u]);
}
}
}
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
memset(d, 0x3f, sizeof d);
scanf("%d%d", &n, &m);
while(m--) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
add(x, y, z);
}
dijkstra();
if(d[n] == INF) printf("-1");
else printf("%d", d[n]);
}
题解：使用现成的堆（Java）
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Scanner;
/**
* @Author yogurtzzz
* @Date 2021/6/25 9:33
*
* 堆优化版的 Dijkstra
* 稀疏图, 用邻接链表来存
**/
public class Main {
static class Pair {
int first;
int second;
Pair(int first, int second) {
this.first = first;
this.second = second;
}
}
static Scanner scanner = new Scanner(System.in);
static int INF = 0x3f3f3f3f;
static final int N = 200000;
static int[] h;
static int[] e = new int[N], w = new int[N], ne = new int[N];// 图的邻接表表示, 数组模拟链表
static int idx; // 用来分配链表节点
public static void main(String[] args) {
int n = readInt(), m = readInt();
h = new int[n + 1];
Arrays.fill(h, -1); // 初始化, 全部邻接表都是-1, 表示空链表
while(m-- > 0) {
int x = readInt(), y = readInt(), z = readInt();
add(x, y, z);
}
System.out.println(dijkstra(n));
}
private static int dijkstra(int n) {
int[] distance = new int[n + 1];
boolean[] visited = new boolean[n + 1];
Arrays.fill(distance, INF);
distance[1] = 0; // 初始化起点距离
// 小根堆
PriorityQueue<Pair> heap = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(o -> o.first));
heap.offer(new Pair(0, 1)); // 插入起点到堆中, first是距离, second是节点编号
for(int i = 0; i < n; i++) {
Pair p = heap.poll(); // 获取当前距离最小的节点
if (p == null) break; // 堆里没有元素了, 提前结束
int nodeNo = p.second, nodeDis = p.first; // 获取该节点的编号和距离
visited[nodeNo] = true; // 解决自环
for(int j = h[nodeNo]; j != -1; j = ne[j]) {
// 从邻接表中获取该节点的所有出边, 依次更新
int nextNodeNo = e[j];
int nextNodeWeight = w[j];
if (distance[nextNodeNo] > nodeDis + nextNodeWeight) {
// 更新
distance[nextNodeNo] = nodeDis + nextNodeWeight;
// 插入到堆中
heap.offer(new Pair(distance[nextNodeNo], nextNodeNo));
}
}
}
return distance[n] == INF ? -1 : distance[n];
}
// 添加一条边
private static void add(int x, int y, int z) {
e[idx] = y;
w[idx] = z;
ne[idx] = h[x];
h[x] = idx++;
}
private static int readInt() {
return scanner.nextInt();
}
}
Bellman-Ford
算法思路
循环n次
每次循环，遍历图中所有的边。对每条边
(a, b, w)，（指的是从a点到b点，权重是w的一条边）更新d[b] = min(d[b], d[a] + w)
（可以定义一个类，或者C++里面的结构体，存储a，b，w。表示存在一条边a点指向b点，权重为w）。则遍历所有边时，只要遍历全部的结构体数组即可
循环的次数的含义：假设循环了k次，则表示，从起点，经过不超过k条边，走到每个点的最短距离。
该算法能够保证，在循环n次后，对所有的边(a, b, w)，都满足d[b] <= d[a] + w。这个不等式被称为三角不等式。上面的更新操作称为松弛操作。
该算法适用于有负权边的情况。
注意：如果有负权回路的话，最短路就不一定存在了。（注意是不一定存在）。当这个负权回路处于1号点到n号点的路径上，则每沿负权回路走一圈，距离都会减少，则可以无限走下去，1到n的距离就变得无限小（负无穷），此时1号点到n号点的最短距离就不存在。而如果负权回路不在1号点到n号点的路径上，则1到n的最短距离仍然存在。
该算法可以求出来，图中是否存在负权回路。如果迭代到第n次，还会进行更新，则说明存在一条最短路，路径上有n条边，n条边则需要n + 1个点，而由于图中一共只有n个点，所以这n + 1个点中一定有2个点是同一个点，则说明这条路径上有环；有环，并且此次进行了更新，说明这个环的权重是负的（只有更新后总的距离变得更小，才会执行更新）。
但求解负权回路，通常用SPFA算法，而不用Bellman-Ford算法，因为前者的时间复杂度更低。
由于循环了n次，每次遍历所有边（m条边）。故Bellman-Ford算法的时间复杂度是O(n×m)。
练习题：acwing - 853: 有边数限制的最短路
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 10010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
int a, b, w;
} edge[M]; // 直接用结构体来存储全部边
int n, m, k, d[N], tmp[N];
void bellman_ford() {
memset(d, 0x3f, sizeof d);
d[1] = 0; // 初始化
for(int i = 0; i < k; i++) {
memcpy(tmp, d, sizeof d); // 需要备份
for(int j = 0; j < m; j++) {
Edge e = edge[j];
int a = e.a, b = e.b, w = e.w;
if(tmp[a] == INF) continue;
if(d[b] > tmp[a] + w) {
// 用备份的tmp来进行计算, 以防出现串联更新的情况
// 串联更新虽然不影响最终的最短距离, 但会影响[经过不超过k条边的最短距离]这个语义
// 比如在外层循环进行了2次时, 此时应当找到了从起点到其他点,经过不超过2条边的最短距离
// 而如果串联更新的话, 可能在这第2次循环时, 已经更新了多次, 得到的最短距离是经过了3条边的最短距离
// 另外, 上面的if中应该用 d[b] > tmp[a] + w
// 而不应当用 tmp[b] > tmp[a] + w
// 当a和b之间存在重边时, 若使用后者作为条件, 则无法取到a,b之间权重最小的那条边
// 更新
d[b] = tmp[a] + w;
}
}
}
if(d[n] == INF) printf("impossible");
else printf("%d", d[n]);
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for(int i = 0; i < m; i++) {
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
edge[i] = {x, y, z};
}
bellman_ford();
return 0;
}
SPFA
若要使用SPFA算法，一定要求图中不能有负权回路。只要图中没有负权回路，都可以用SPFA，这个算法的限制是比较小的。
SPFA其实是对Bellman-Ford的一种优化。
它优化的是这一步：d[b] = min(d[b], d[a] + w)
我们观察可以发现，只有当d[a]变小了，才会在下一轮循环中更新d[b]
考虑用BFS来做优化。用一个队列queue，来存放距离变小的节点。
（和Dijkstra很像）
练习题：acwing - 851: spfa求最短路
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int n, m;
int d[N];
int q[N], hh, tt = -1;
bool st[N];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
void spfa() {
memset(d, 0x3f, sizeof d);
d[1] = 0;
q[++tt] = 1;
st[1] = true;
while(tt >= hh) {
int u = q[hh++];
st[u] = false;
for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if(d[j] > d[u] + w[i]) {
d[j] = d[u] + w[i];
if(!st[j]) {
// 为了防止已在队列中的点, 被重复添加进队列
// 虽然不影响最终结果, 但会拖慢一点性能
st[j] = true;
q[++tt] = j;
}
}
}
}
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d%d", &n, &m);
while(m--) {
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
add(x, y, z);
}
spfa();
if(d[n] != INF) printf("%d", d[n]);
else printf("impossible");
return 0;
}
SPFA的好处：能解决无负权边的问题，也能解决有负权边的问题，并且效率还比较高。但是当需要求在走不超过k条边的最短路问题上，就只能用Bellman-Ford算法了。
练习题：acwing - 852: spfa求负环
基本思路是，添加一个变量int ctn[N]，来记录走到第i个点所经过的边的长度即可，如果走到某个点的边的个数大于n，则说明存在负权回路。题解思路可以参考https://www.acwing.com/solution/content/6336/。由于是求是否存在负环，而不是求从1号点能够走到的负权回路，所以我们要把全部点加入到队列。可以这样理解，在原图的基础上新建一个虚拟源点，从该点向其他所有点连一条权值为0的有向边。那么原图有负环等价于新图有负环。此时在新图上做spfa，将虚拟源点加入队列中。然后进行spfa的第一次迭代，这时会将所有点的距离更新并将所有点插入队列中。执行到这一步，就等价于下面代码的做法了。
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, M = 1e8 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int n, m;
int d[N], ctn[N];
bool st[N];
int q[M], hh, tt = -1;
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
bool spfa() {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
q[++tt] = i;
st[i] = true;
}
while(tt >= hh) {
int u = q[hh++];
st[u] = false;
for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if(d[j] > d[u] + w[i]) {
d[j] = d[u] + w[i];
ctn[j] = ctn[u] + 1;
if(ctn[j] >= n) return true;
if(!st[j]) {
q[++tt] = j;
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d%d", &n, &m);
while(m--) {
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
add(x, y, z);
}
if(spfa()) printf("Yes");
else printf("No");
return 0;
}
其实这道题用Bellman-Ford来做，思路更简单
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5;
int n, m;
struct Edge {
int a, b, w;
} edges[N];
int d[N], tmp[N];
bool bellman_ford() {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
memcpy(tmp, d, sizeof d);
for(int j = 0; j < m; j++) {
Edge e = edges[j];
int a = e.a, b = e.b, w = e.w;
if(d[b] > tmp[a] + w) {
d[b] = tmp[a] + w;
if(i == n) return true;
}
}
}
return false;
}
// bellman-ford判断负环
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < m; i++) {
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
edges[i] = {x, y, z};
}
if(bellman_ford()) printf("Yes");
else printf("No");
return 0;
}
Floyd
求解多源汇最短路问题，也能处理边权为负数的情况，但是无法处理存在负权回路的情况。
使用邻接矩阵来存储图。初始使用d[i][j]来存储这个图，存储所有的边
算法思路：三层循环
for(k = 1; k <= n; k++)
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= n; j++)
d[i,j] = min(d[i,j] , d[i,k] + d[k,j])
循环结束后，d[i][j]存的就是点i到j的最短距离。
原理是基于动态规划（具体原理在后续的动态规划章节再做详解）。
其状态表示是：d(k, i, j)，从点i，只经过1 ~ k这些中间点，到达点j的最短距离
练习题：acwing - 854: Floyd求最短路
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N]; // 邻接矩阵存储
int n, m, k;
void floyd() {
for(int p = 1; p <= n; p++) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(g[i][p] != INF && g[p][j] != INF) g[i][j] = min(g[i][j], g[i][p] + g[p][j]);
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(i == j) g[i][j] = 0;
else g[i][j] = INF;
}
}
while(m--) {
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
g[x][y] = min(g[x][y], z); // 处理重边
}
floyd();
while(k--) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
if(g[x][y] == INF) printf("impossible\n");
else printf("%d\n", g[x][y]);
}
return 0;
}
总结
几种求解最短路的算法，各自的思路都不太相同，现做一个简单的总结
- Dijkstra
只适用于边权为正的情况。是从点的维度出发，每次循环确定起点到某一个点的最短距离，循环n次，则确定全部n个点到起点的最短距离。其思想有点类似BFS或者贪心，每次选一个距离最小的点，很保守的一点点地往外扩张，而不像DFS一条路走到黑。
注意有一个集合s的概念，每轮循环确定了一个点的最短距离后，就把这个点加入集合s。集合s表示的就是当前哪些点已经确定了最短距离了。已经确定了的点，之后的循环就不再考虑它们了。
每次循环，从未确定最短距离的点中，找一个距离最小的点a，则点a的最短距离已经确定，将其加入集合s，随后用a点去更新其他点（准确的说是和a相连的那些点（a的出边））的距离，本轮循环结束。
实际代码中，我们用一个布尔类型的数组，来表示一个点是否加入了集合s堆优化版的Dijkstra：优化的就是每轮循环，选择一个距离最小的点这一步，使用小根堆可以在O(1)的时间复杂度选出距离最小的点
在选取一个距离最小的点后，只需要更新这个点所有出边，连接的那些点即可。所以用邻接表来存储比较合适。而邻接表适合存储稀疏图。所以在稀疏图时，可以采用堆优化Dijkstra，使用邻接表来存储图。稠密图的情况，则选用朴素Dijkstra，使用邻接矩阵来存储图。
朴素Dijkstra的时间复杂度是O(n2)，堆优化Dijkstra的时间复杂度是O(mlogn) - Bellman-Ford
适用于存在负权边的情况。是从边的维度出发。首先还是初始化所有点的距离为正无穷，然后初始化起点的距离为0。
循环n次（准确地说应该是n-1次，因为只需要走n-1条边就能从1号点走到n号点），每次循环遍历所有的边（一个边用[a, b, w]表示，a点到b点，权重为w），每次更新这条边右端点（b点）的距离。d[b] = min(d[b], d[a] + w)。
其实只有当d[a]不是正无穷时，才需要更新。如果无脑更新，则当d[a]是正无穷，且w是负数的话，d[b]会被更新为一个比正无穷稍小一点的数，在实际编码中可能出错。而由于d[a]为正无穷（a点不可达），则其实b点应该也保持为正无穷（b点也不可达）。
Bellman-Ford可以用来求解，经过不超过k条边的最短距离。因为每次迭代，都是把边往前走了一步（对于那些a点不可达的边[a, b, w]，不更新d[b]）。需要注意，更新距离数组d时，需要提前备份一下d，并使用上一轮的备份来进行更新。这是为了防止串联更新的情况。
串联更新，就比如有3个点，2条边，a -> b -> c，则第一次循环时，先根据[a, b]这条边更新了d[b]，然后访问到[b ,c]这条边时又会更新d[c]，但第一次循环时，只走出去一条边，是不应当走到c点的。但如果直接使用d数组来更新，则访问[b ,c]这条边时，由于先前访问[a, b]时更新了d[b]，则这次使用了新的d[b]，则会更新d[c]。
串联更新会影响【第k次循环，找到不超过k条边的最短距离】这一语义。虽然它不会影响最终的最短距离。
另外，更新时的条件判断还要注意，需要特别关注重边的情况，说明如下
void bellman_ford() { // 循环k次 for(int i = 0; i < k; i++) { // 使用备份数组来进行更新, 以避免出现串联更新的情况, 串联更新会影响k次循环找到经过不超过k条边的最短距离的语义 memcpy(tmp, d, sizeof d); // 每次枚举全部边 for(int j = 0; j < m; j++) { int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w; if(tmp[a] != INF && d[b] > tmp[a] + w) { // 注意这里后面要用 d[b] > tmp[a] + w // 而不能用 tmp[b] > tmp[a] + w // 当a和b存在重边时, 需要保证用到的是最短的那条边 // 如果采用 tmp[b] > tmp[a] + w , 则无法保证这一点, 可自行验证 d[b] = tmp[a] + w; } } } } Bellman-Ford也能用来判断图中是否存在负权回路。上面说了，实际只需要循环n-1次，若第n次循环仍然执行了距离的更新，则说明，从1号点到另一个点的最短距离，经过了n条边，n条边，则路径上有n+1个点，而由于一共只有n个点，所以这n+1个点中一定有2个点相同，则这条最短距离的路径上存在一个环，并且只有当距离变小时，才会执行更新，那么说明这个环的权重是负的。 - SPFA
SPFA是对Bellman-Ford的优化。上面我们知道，Bellman-Ford是每次遍历所有边，并更新d[b] = min(d[b], d[a] + w)。
初始时所有点的距离都是正无穷的，而根据上面的式子，一条边的w是不变的，则只有当一条边的a点的距离d[a]变小了，下一轮循环才有可能会更新d[b]。于是我们只需要关注那些距离变小的点即可。
则采用类似BFS的思路，使用一个队列来保存那些距离变小的点。其代码思路相比Bellman-Ford而言，非常简单。所以通常对于存在负权边的最短路问题，通常直接用SPFA（甚至不存在负权边的问题，也可以用SPFA）。只有当类似于【求不超过k条边的最短路问题】时，才需要用Bellman-Ford。
**但是！SPFA无法用于存在负权回路的情况！**因为SPFA是用一个队列来存储距离变小的点，若存在负权回路，则队列永远不会为空，会无限循环。而Bellman-Ford由于只循环n次，即使有负权回路，也不会出现死循环。
SPFA代码如下，非常简单。
void spfa() { memset(d, 0x3f, sizeof d); // 距离初始化为正无穷 d[1] = 0; // 起点距离为0 q[++tt] = 1; // 起点距离变小, 入队 while(tt >= hh) { // 当队列不空 int u = q[hh++]; // pop 队头 // 遍历所有出边, 进行可能的更新 for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if(d[j] > d[u] + w[i]) { // 一定要写这个判断, 因为d[a]变小后, 对于边[a, b, w], 不一定会保证d[b]也变小(可能b点有其他更短的路径) d[j] = d[u] + w[i]; q[++tt] = j; // j点距离变小了, 入队 } } } } 突然感受到SPFA的魅力，思路和代码都极其简洁。单源最短路问题可以直接用SPFA通吃！完全不用什么Dijkstra和Bellman-Ford！
然而，通过几道练习题，当需要判断图中是否有负权回路时，还是Bellman-Ford比SPFA好用。 - Floyd
这个算法没怎么去细细研究其背后的数学原理（貌似是动态规划中的状态转移），暂时先留着，等学到后面dp的部分再来补。TODO
