贪心（一）
贪心预计讲两节，所有算法问题中，贪心和DP是最难的，甚至贪心比DP还要难。一个贪心算法的正确性的证明通常是很难的。贪心也没有一个常规的套路，更没有代码模板。DP虽然没有代码模板，但它至少有常用的套路。
贪心这一章的几道例题，代码都非常短，讲课主要是以证明为主。
区间问题
区间选点
贪心问题，如果没什么思路的话，可以先随便试一下，然后举几个样例，来验证自己所试的方法是不是正确。
这道题可以按照如下的思路来考虑：
- 将每个区间按照右端点从小到大排序
-
从前往后依次枚举每个区间
- 若当前区间中已经包含点，则跳过
- 否则，选择当前区间的右端点
这个思路的原理是什么呢？因为区间是按照右端点从小到大排序的，所以在某个区间内选点的时候，只有选择右端点，才能尽可能的使得这个点覆盖掉后续更多的区间。
这种贪心的策略，实际就是在当前状态下，选择一个最优的，是比较短视的，每次都是在眼前的几种决策里，挑一个当前最小的。这种局部最优解，最终会得到一个全局最优解。
贪心这种只看局部的策略，只适用于函数存在一个波峰的情况，如下，只要一直求解局部最优，最终就会到达全局最优（类似于AI中的梯度下降）
而如果函数存在多个波峰，则用贪心只能求得局部最优，但无法求得全局最优，如下
下面证明一下上面贪心策略的正确性：
设按照上面的策略，选出的点数为cnt，问题的答案为ans。那么我们就是要证明cnt = ans。
在数学上有一个思路，若要证A = B，则可以先证A >= B，再证 A <= B，以此得出 A = B。即，用不等式来推导出等式。
首先，按照上面的策略选点完毕后，能保证每个区间都至少有一个点。因为我们会依次枚举每个区间，若当前区间包含点，就跳过，若不包含，就选一个点。所以最终每个区间都至少有一个点。也就是说，通过这个策略得到的，一定是一个合法的选点方案（每个区间内都至少包含一个点即为合法）。而问题的答案，就是全部合法方案中的最小值。所以我们能得出：ans <= cnt
接着，我们换一种角度，按照上面的策略，什么时候会增加一个点呢？那就是从前往后枚举每个区间时，遇到了当前区间没有点这个分支条件时，才会实际上增加一个点。那我们通过上面的策略最终选出了cnt个点，也就是有cnt个区间走到了当前区间没有点这个分支上。而由于区间是按照右端点从小到大排序的，那么我们能从全部的区间中，抽取出cnt个区间，这cnt个区间从左到右依次排列，且两两不相交。
由于合法的方案，需要保证每个区间内都至少有一个点，所以，所有的合法方案，都必须要覆盖掉这cnt个两两不相交的区间，而覆盖掉这cnt个区间，至少需要cnt个点。所以，所有的合法方案的点数，都一定要大于等于cnt。而问题的解也是合法方案中的一种，所以它也要满足大于等于cnt。于是就有了：ans >= cnt
根据ans <= cnt 和 ans >= cnt，我们就能得出 ans = cnt，该策略的正确性证毕。
该题题解如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
// 定义一个表示区间的结构体
struct Range
{
int l, r;
// 重载运算符, 按照区间右端点排序
bool operator< (const Range &w) {
return r < w.r;
}
} range[N];
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i <n; i++) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
// 按照右端点对区间进行排序
sort(range, range + n);
// 第一个区间一定会选
int cnt = 1, ed = range[0].r;
// 从第二个区间开始枚举
for(int i = 1; i < n; i++) {
if(range[i].l > ed) {
cnt++;
ed = range[i].r;
}
}
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
区间选点问题，有个对应的实际问题：
最大不相交的区间数量
这个题目可以对应一些生活的实际场景。比如在某一天内，我们有很多个活动可以去参加，每个活动有一个开始时间和结束时间。问如何选择，能够使我们当天参加的活动数量最大，并且活动之间没有时间冲突。
这个问题的做法，和上一个问题一毛一样，代码也一毛一样。
重点还是来证明一下这种贪心策略的正确性。同样的，按照上面的策略，我们能选出cnt个区间，这些区间之间两两不相交。
那么这是一种合法的方案（选出的所有区间之间不能相交，即为合法）。而问题的答案ans，是所有合法方案中，区间数量最大的那种方案。所以ans >= cnt。
对于ans <= cnt的证明，可以考虑使用反证法。先假设ans > cnt，看有没有什么矛盾。
假设ans > cnt，则说明可以选择出ans个互不相交的区间，那么要覆盖掉全部的区间，则至少需要ans个点。而根据我们上面的策略，能够得知，只需要cnt个点，就能够把全部的区间覆盖完毕。
也就是说，如果存在ans > cnt，则至少需要ans（大于cnt）个点，才能覆盖掉全部的区间，这与只需要cnt个点就能覆盖掉全部的区间矛盾了。所以ans > cnt不成立，即ans <= cnt成立。
正确性得证。
可见，贪心的题目，更多是逻辑上的推理和证明，所以它非常难。
再把代码重复写一遍
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
struct Range
{
int l, r;
bool operator < (const Range &o) {
return r < o.r;
}
} range[N];
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range + n);
int cnt = 1; ed = range[0].r;
for(int i = 1; i < n; i++) {
if(range[i].l > ed) {
cnt++;
ed = range[i].r;
}
}
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
区间分组
这题的做法如下：
-
将所有区间按照左端点从小到大排序
-
从前往后处理每个区间，
判断能否将当前区间放到某个现有的组当中（判断现有组中的最后一个区间的右端点，是否小于当前区间的左端点）
- 如果不存在这样的组，就意味着当前区间，与所有的组都有交集，就必须要开一个新的组，把这个区间放进去
- 如果存在这样的组，就将当前区间放到这个组中，并更新这个组
正确性证明：（ans表示最终答案，cnt表示按照上述算法得到的分组数量），仍然从两方面来证明
ans <= cntans >= cnt
首先，按照上面的算法步骤，得到的方案一定是一个合法方案，因为任意两个组之间都不会有交集，然后ans是所有合法方案中的最小值，故有ans <= cnt。
然后，观察一下最后一个新开的组的情况，什么情况需要新开一个组呢？当某个区间和现有的所有分组都有交集时，则需要新开一个组。当新开第cnt个组时，则当前这个区间和其余的cnt-1个组都有交集，而区间的左端点是从小到大排列的。设当前这个区间的左端点为L，则全部的cnt个分组，都有一个公共的点L。也就是说，至少有cnt个区间，在L这个点上是相交的。故要把这些区间分开来，则至少要分cnt个组。即，ans >= cnt。由此得ans = cnt，得证。
代码题解如下，其中判断能够将某个区间放到现有的某个组中，可以用小根堆来进行优化，堆中存放的是每个分组中的最右边的端点。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
struct Range {
int l, r;
bool operator < (const Range &w) {
return l < w.l;
}
} range[N];
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range + n);
// 用小根堆来维护每个分组的最右端点
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
for(int i = 0; i < n; i++) {
auto r = range[i];
// 若堆为空, 或堆顶(所有组的右端点的最小值)大于等于当前区间的左端点, 则需要新开一个组
if(heap.empty() || heap.top() >= r.l) heap.push(r.r);
else {
// 否则, 可以插入到堆顶这个组, 则更新堆顶这个组的右端点
heap.pop();
heap.push(r.r);
}
}
printf("%d\n", heap.size());
return 0;
}
这个区间分组的问题，有一个对应的实际问题：
区间覆盖
做法如下
设线段的左端点为start，右端点为end
- 将所有区间按照左端点从小到大排序
- 从前往后依次枚举每个区间，在所有能覆盖
start的区间中，选择一个右端点最大的区间，随后，将start更新为选中区间的右端点 - 当
start >= end，结束
正确性证明，同样从两个方面
ans <= cntans >= cnt
首先，（在有解的前提下）上面的策略可以找出一个可行的合法方案，将这个方案需要用到的区间数量记为cnt，而ans表示的是所有合法方案中的最少区间数量，所以有ans <= cnt。
接着，假设ans < cnt，则在ans选择区间时，一定从某个区间开始，和cnt的选择不一样。而cnt每次是选择能覆盖当前start，且右端点最大的区间，则可以将ans该次的选择，用cnt的选择替换掉，且不会增加所选区间的个数。依次往后推，可以得出ans一定是等于cnt的。（其实可以直接证出ans = cnt，而不需要前面的ans <= cnt的证明了）
代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, s, t;
struct Range
{
int l, r;
bool operator < (const Range &w) {
return l < w.l;
}
} range[N];
int main() {
scanf("%d%d%d", &s, &t, &n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range + n);
int res = 0;
bool success = false;
for(int i = 0; i < n; i++) {
int j = i, r = -2e9;
while(j < n && range[j].l <= s) {
r = max(r, range[j].r);
j++;
}
// 当跳出循环后, j是第一个不满足上述条件的区间
// 由于区间按照左端点从小到大排序
// 则j是第一个左端点大于s的区间
// 右端点最大, 都没有覆盖掉s, 则无解
if(r < s) {
res = -1;
break;
}
res++;
// 已经覆盖完毕
if(r >= t) {
success = true;
break;
}
// 更新s
s = r;
// 更新下一轮的起点
// 由于j之前的所有区间的右端点都小于r
// 而下一轮要覆盖掉r, 所以枚举的区间要从j开始
i = j - 1;
}
if(!success) res = -1;
printf("%d\n", res);
return 0;
}
Huffman树
果子的合并过程，可以用一棵树来表示
所有的叶子节点，是每一堆果子的重量，而每个非叶子节点，就表示了一次合并操作消耗的体力。则消耗的总体力，就是全部非叶子节点的总和。比如，对于a这个节点，我们可以看到，其需要参与3次合并，a会被累加3次，被累加的次数也是这个节点到根节点的路径长度。
所以，要使得消耗的总的体力最小，我们需要使权重大的节点（消耗体力大的节点），到根节点的路径尽可能的短（使得这个节点被计算的次数尽可能少）。
这就跟哈夫曼编码一个道理。对于出现频率最高的字符，编码时要使得其位数越少（即到根节点的路径越短），而出现频率低的字符，其到根节点的路径可以稍长，这样就使得采用此种编码进行信息传输时，占用的空间最少。
这道题的思路，就是每次合并时，挑当前重量最小的两堆，进行合并。即，每次都用贪心的策略进行选择，每次都选择一个局部最优解，最终能找到全局的最优解。
代码可以用一个小根堆来存储所有的果子重量，每次合并最小的2个，直到堆中只剩一个元素，说明合并完成。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
// 小根堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
// 将全部的果子插入到堆
while(n--) {
int x;
scanf("%d", &x);
heap.push(x);
}
// 消耗的总体力
int res = 0;
// 当堆的大小大于1时, 进行合并
while(heap.size() > 1) {
// 取出最小的两个
int a = heap.top();
heap.pop();
int b = heap.top();
heap.pop();
res += a + b; // 记录此次合并消耗的体力
heap.push(a + b); // 将合并后的作为一堆新的果子, 插入到堆
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
