计算几何--简单多边形与圆面积交

求解二维空间内一个简单多边形和一个长度为R的圆公共面积。

因为任意简单多边形都可以划分成若干三角形，我们可以把这个简单多边形划分成三角形后，求三角形与圆的面积交，然后在把所有三角形的解合并。

由于可能有凹多边形，我们计算三角形与圆面积交时采用向量叉乘，这样得到的是一个有向面积，刚好可以把凹多边形面积正负抵消掉，最后把总面积取绝对值就行了。

向量叉乘 A x B == 以向量A,B为2邻边，围城平行四边形的有向面积。  A在B顺时针方向值为正，逆时针为负。

AxB==

|A.x  ,  A.y |

|B.x  ,  B.y |

==A.x*B.y-A.y*B.x

 

计算一个圆与一个三角形的面积交(其中一个三角形顶点是圆心，如上图)，我采用的方法是分4种情况。

 

1.

另外2个顶点在圆内（上），这个非常好算直接求三角形的有向面积即可。

2.

另外两个顶点有1个再圆内（上）,另外1个再圆外，求得直线与圆一个交点后求一个三角形面积+上一个扇形面积。

3.

2个顶点在圆外，且2个顶点所在边与圆相交，先求圆外2顶点所在直线与圆交点，然后定比分点公式求另外2条直线与圆交点，然后求一个三角形+2个扇形面积即可。

 

4.

2个顶点都在圆外且2顶点所在边与圆不相交，这个情况求2个交点后算出那个扇形面积就行了。

 

下面是我写的圆与三角形有向面积交函数，注意三角形其中一个顶点在圆心，如果都不在圆心，可以把这个三角形在划分成3个其中一个顶点在圆心的三角形求解。

代码：

/*
* 多边形和圆面积并
* Complier: G++
* Create Time: 8:26 2015/10/1 星期四
*/
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const double pi=acos(-1.0);
const double e=exp(1.0);
const double eps=1e-8;
const int maxn=1005;
double R,k;
int n,m;
struct point          // 点或向量结构
{
    double x,y;
    point(double _x=0.0,double _y=0.0):x(_x),y(_y) {}
    point operator - (const point &p)
    {
        return point(x-p.x,y-p.y);
    }
    double sqrx()    //向量的模
    {
        return sqrt(x*x+y*y);
    }
} area[maxn];

int dcmp(double x)
{
    return (x>eps)-(x<-eps);
}

double xmult(point &p1,point &p2,point &p0)//叉积
{
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);
}

double distancex(point &p1,point &p2)
{
    return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
}

point intersection(point u1,point u2,point v1,point v2)   //两直线交点
{
    point ret = u1;
    double t = ((u1.x-v1.x)*(v1.y-v2.y)-(u1.y-v1.y)*(v1.x-v2.x))/((u1.x-u2.x)*(v1.y-v2.y)-(u1.y-u2.y)*(v1.x-v2.x));
    ret.x += (u2.x-u1.x)*t;
    ret.y += (u2.y-u1.y)*t;
    return ret;
}

void intersection_line_circle(point c, double r, point l1, point l2, point & p1, point & p2) //直线与圆相交
{
    point p = c;
    double t;
    p.x += l1.y-l2.y;
    p.y += l2.x-l1.x;
    p = intersection(p, c, l1, l2);
    t = sqrt(r*r-distancex(p, c)*distancex(p, c))/distancex(l1, l2);
    p1.x = p.x+(l2.x-l1.x)*t;
    p1.y = p.y+(l2.y-l1.y)*t;
    p2.x = p.x-(l2.x-l1.x)*t;
    p2.y = p.y-(l2.y-l1.y)*t;
}

point len_pot_seg(point p, point l1, point l2)//点到线段的最近距离
{
    point t = p;
    t.x += l1.y-l2.y;
    t.y += l2.x-l1.x;
    if (xmult(l1, t, p)*xmult(l2, t, p)>eps)
        return distancex(p, l1)<distancex(p, l2) ? l1 : l2;
    return intersection(p, t, l1, l2);
}

double distp(point & a, point & b)
{
    return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}

double Direct_Triangle_Circle_Area(point a, point b, point o, double r)
{
    double sign = 1.0;
    a = a-o;
    b = b-o;
    o = point(0.0, 0.0);
    if(fabs(xmult(a, b, o)) < eps) return 0.0;
    if(distp(a, o) > distp(b, o))
    {
        swap(a, b);
        sign = -1.0;
    }
    if (distp(a, o) < r*r+eps)
    {
        if (distp(b, o) < r*r+eps) return xmult(a, b, o)/2.0*sign;
        point p1, p2;
        intersection_line_circle(o, r, a, b, p1, p2);
        if (distancex(p1, b) > distancex(p2, b)) swap(p1, p2);
        double ret1 = fabs(xmult(a, p1, o));
        double ret2 = acos((p1.x*b.x+p1.y*b.y)/p1.sqrx()/b.sqrx())*r*r;
        double ret = (ret1+ret2)/2.0;
        if (xmult(a, b, o)<eps && sign>0.0 || xmult(a, b, o)>eps && sign<0.0) ret = -ret;
        return ret;
    }
    point ins = len_pot_seg(o, a, b);
    if(distp(o, ins)>r*r-eps)
    {
        double ret = acos((a.x*b.x+a.y*b.y)/a.sqrx()/b.sqrx())*r*r/2.0;
        if(xmult(a, b, o)<eps && sign>0.0 || xmult(a, b, o)>eps && sign<0.0) ret = -ret;
        return ret;
    }
    point p1, p2;
    intersection_line_circle(o, r, a, b, p1, p2);
    double cm = r/(distancex(o, a)-r);
    point m = point((o.x+cm*a.x)/(1+cm),(o.y+cm*a.y)/(1+cm));
    double cn = r/(distancex(o, b)-r);
    point n = point((o.x+cn*b.x)/(1+cn),(o.y+cn*b.y)/(1+cn));
    double ret1 = acos((m.x*n.x+m.y*n.y)/m.sqrx()/n.sqrx())*r*r;
    double ret2 = acos((p1.x*p2.x+p1.y*p2.y)/p1.sqrx()/p2.sqrx())*r*r-fabs(xmult(p1, p2, o));
    double ret = (ret1-ret2)/2.0;
    if(xmult(a, b, o)<eps && sign>0.0||xmult(a, b, o)>eps && sign<0.0) ret=-ret;
    return ret;
}