与素数有关的一些性质及证明（一）

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写在前面

最近学习了丘维声教授的课程《数学的思维方式与创新》，总结一下课程中关于素数的一些主要性质及证明。

素数、合数

设$m$是大于$1$的整数，如果$m$的正因数只有$1$和$m$自身，那么称$m$是一个素数（或质数），否则称$m$是合数。

定理：带余除法

任给$a,\,b\in\mathbb{Z}$，且$b\neq0$，则存在唯一的一对整数$q,\,r$，使得
$a=qb+r,\quad0\leqslant r<|b|,$
其中，$q$和$r$分别称为$a$被$b$除所得的商和余数。

整除、因数

对于整数$a,\,b$，如果存在整数$c$，使得
$a=cb,$
那么称$b$整除$a$，记作$b\,|\,a$，否则，称$b$不能整除$a$，记作$b\,\nmid\,a$。当$b\,|\,a$时，$b$称为$a$的一个因数，$a$称为$b$的一个倍数。

• 任给$a\in\mathbb{Z}$，由于$0=0a$，因此$a\,|\,0$，特别地，$0\,|\,0$。
• 整除具有反身性，传递性，但是没有对称性。

$\bigstar$命题：除数整除被除数的倍数和

在$\mathbb{Z}$中，若$b\,|\,a_i,\,i=1,\,2,\,\cdots,\,s$，则对任意整数$u_1,\,u_2,\,\cdots,\,u_s$，有
$b\,|\,u_1a_1+u_2a_2+\cdots+u_sa_s.$

公因数、最大公因数

• 如果$c\,|\,a$且$c\,|\,b$，那么称$c$是$a$与$b$的一个公因数（公约数）。
• 整数$a$与$b$的一个公因数$d$如果满足：$a$与$b$的任一公因数都能整除$d$，那么称$d$是$a$与$b$的一个最大公因数（最大公约数）。
• 约定： 用$(a,\,b)$表示两整数间正的最大公因数。
• 任给$a\in\mathbb{Z}$，由于$a\,|\,a$且$a\,|\,0$，所以$a$是$a$与$0$的一个公因数，任取$a$与$0$的一个公因数$c$，显然$c\,|\,a$，所以$a$是$a$与$0$的一个最大公因数。
• 特别地，$0$是$0$与$0$的最大公因数。

除数与被除数的最大公因数等于除数与余数的最大公因数

在$\mathbb{Z}$中如果有等式
$a=qb+r$
成立，那么$d$是$a$与$b$的最大公因数当且仅当$d$是$b$与$r$的最大公因数。

辗转相除法:求两整数最大公因数的统一方法

任给两个整数$a,\,b$，都存在它们的一个最大公因数$d$，并且$d$可以表示成$a$与$b$的倍数和，即存在整数$u,\,v$，使得
$ua+vb=d.$

互素

• 设$a,\,b\in\mathbb{Z}$，如果$(a,\,b)=1$，那么称$a$与$b$互素。
• 两个整数互素当且仅当它们的公因数只有$\pm1$。

$\bigstar\bigstar$定理：两整数互素的充要条件

两整数$a,\,b$互素的充要条件是：存在整数$u,\,v$，使得
$ua+vb=1.$

证明

• 必要性：由辗转相除法定理即可得到，下证充分性。
• 充分性：设$ua+vb=1$成立，只需证明整数$a,\,b$互素，即证明$(a,\,b)=1$。任取$a,\,b$的一个公因数$c$，则有$c\,|\,a,\,c\,|\,b$，由定理：除数整除被除数的倍数和，可以得到：$c\,|\,ua+vb$，所以$c|1$，证毕。

互素整数的重要性质及推广

1. 在$\mathbb{Z}$中，如果$a\,|\,bc$，且$(a,\,b)=1$，那么$a\,|\,c$。
   证明：
   若$c=0$，$a\,|\,c$显然成立；若$c\neq0$，利用整数互素的充要条件得到：存在整数$u,\,v$，使得$ua+vb=1$，两边同乘以$c$得到：$uac+vbc=c$，而显然有$a\,|\,a,\,a\,|\,bc$，根据命题：除数整除被除数倍数和，得到$a\,|\,(uc)a+v(bc)\Longrightarrow a\,|\,c$.

性质1的简单应用

对于素数$p$, 有$p\,|\,{C}_p^k, \forall k\in[1,p)$
证明:
对组合数${C}_p^k$显然有$(p-k){C}_p^k=p{C}_{p-1}^k$, 而显然$(p, p-k)=1$,$p\,|\,(p-k){C}_p^k$, 所以由性质1, 可得$p\,|\,{C}_p^k$.

1. 在$\mathbb{Z}$中，如果$a\,|\,c,\,b\,|\,c$，且$(a,\,b)=1$，那么$ab\,|\,c$。
   证明：
   根据$a\,|\,c$，有整数$h$使得$c=ha$。由于$b\,|\,c$，因此$b\,|\,ha$。又由于$(a,\,b)=1$，因此由性质1得到$b\,|\,h$，从而有整数$g$使得$h=gb$，所以有$c=g(ba)$，即得到$ab\,|\,c$。
   推广：
   在$\mathbb{Z}$中，如果$a_i\,|\,c,\,i=1,\,2,\,\cdots,\,s$，且$a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_s$两两互素，那么$a_1a_2\cdots a_s\,|\,c$.
2. 在$\mathbb{Z}$中，如果$(a,\,c)=1$，且$(b,\,c)=1$，那么$(ab,\,c)=1$。
   证明：
   根据$(a,\,c)=1,\,(b,\,c)=1$，得到：有整数$u_i,\,v_i,\,i=1,\,2$，使得
   $\begin{cases} u_1a+v_1b=1\\ u_2b+v_2c=1 \end{cases}$
   将上述两式左右两边分别相乘，得到
   $(u_1u_2)ab+(u_1av_2+v_1u_2b+v_1v_2c)c=1$
   于是由整数互素的充要条件得到：$(ab,\,c)=1$.
   推广：
   在$\mathbb{Z}$中，如果$(a_i,\,c)=1,\,i=1,\,2,\,\cdots,\,s$，那么$(a_1a_2\cdots a_s,\,c)=1$。

素数的重要性质

设$p$是大于$1$的整数，则下列命题等价：

1. $p$是素数；
2. 对任意整数$a$，都有$p\,|\,a$或者$(p,\,a)=1$；
3. 对整数$a,\,b$，从$p\,|\,ab$可以推出：$p\,|\,a$或者$p\,|\,b$；
4. $p$不能分解成两个比$p$小的正整数的乘积。

证明

• 1->2：由于$p$是素数，所以有$(p,\,a)=1$或者$(p,\,a)=p$，而后者可得出$p\,|\,a$.
• 2->3：由于$p\,|\,ab$，假设$p\,\nmid\,a$，则由性质2，有$(p,\,a)=1$，再由整数互素的性质1，得到$p\,|\,b$。
• 3->4：假设$p=p_1p_2,\,0<p_1<p,\,0<p_2<p$，则由整除的反身性得到$p\,|\,p_1p_2$，由性质3得到：$p\,|\,p_1$或者$p\,|\,p_2$，矛盾。
• 4->1：任取$p$的一个正因数$a$，则存在正整数$b$，使得$p=ba$，根据性质4，$b=p$或者$a=p$，当$b=p$时，$a=1$，因此$p$的正因数只有$1,\,p$，从而$p$为素数。

算术基本定理

任一大于$1$的整数$a$都能唯一地分解成有限多素数地乘积。

其中，唯一性是指：如果$a$有两个这样的分解式：
$a=p_1p_2\cdots p_s=q_1q_2\cdots q_t,$
则一定有$s=t$，且适当排列因数地次序之后有：
$p_i=q_i,\quad i=1,\,2,\,\cdots,\,s.$