【离散数学】第六章 代数系统的一般概念

$代数系统： \left\{ \begin{array}{代数系统} 群论\\ 环论\\ 格论\\ 线性代数\\ ... \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{代数系统} 代数几何\\ 代数数论\\ 代数拓扑\\ 拓扑群\\ ... \end{array} \right.$

6.1 代数系统

封闭性对于代数系统是非常重要的；

封闭性：对于集合$S$以及$S$上定义的运算$\star$，若$S$中任意两个元素在进行$\star$运算后，结果仍在$S$中，则称集合$S$对于运算$\star$是封闭的。

定义6.1 设$A$为任意集合，一个从$A^n$到$B$的映射，称为集合$A$上的一个$n$元运算。如果$B \subseteq A$，则称该$n$元运算是**封闭的**。

可以使用一个符号来表示某个运算，例如：四则运算中的$+、-、\times、\div$都是算符，参与运算的对象称为运算数或者操作数。参与运算的元素个数可以是任意的，个数为$n$时对应的运算称作$n$元运算。

定义6.2 一个非空集合$A$，连同若干个定义在该集合上的运算$f_1,f_2,...,f_k$所组成的系统，称为一个**代数系统**，简称为代数，记作：$<A,f_1,f_2,...,f_k>$。

定义6.3 设$A$为任意非空集合，$*$和$\circ$是集合$A$上的二元运算，对于$\forall a,b,c \in A$：

(1) 若有$a * b \in A$；则称运算$*$关于集合$A$是**封闭的**。

(2) 若有$a * (b * c) = (a * b) * c$，则称$*$在集合$A$上是**可结合的**或满足结合律。

(3) 若有$a * b = b * a$，则称$*$在集合$A$上是**可交换的**或满足交换律。

(4) 若有$a * a = a$，则称$*$在集合$A$上是幂等的或满足幂等律。

(5) 若有$a \circ (b * c) = (a \circ b) * (a \circ c)$和$(b * c) \circ a = (b \circ a) * (c \circ a)$成立，则称$\circ$对$*$是可分配的或者$\circ$对$*$满足分配律。

(6) 若$\circ$和$*$均满足交换律，且$a \circ (a * b) = a$和$a * (a \circ b) = a$，则称$\circ$对$*$是可吸收的或者$\circ$对$*$满足吸收律。

定义6.4 设$*$为集合$A$上的二元运算，若存在$e_L \in A$，使得对于$\forall x \in A$，都有$e_L * x = x$，则称$e_L$是$A$中关于$*$运算的左幺元。类似地，若存在$e_R \in A$，使得对于$\forall x \in A$，都有$x * e_R = x$，则称$e_R$是$A$中关于$*$运算的右幺元。如果存在$e \in A$，它既是左幺元又是右幺元，则称$e$是$A$中关于$*$运算的幺元。幺元也称为单位元。

幺元与任何元素运算，结果都是元素本身。

例6.6 设集合$A = \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}$，在$A$上定义两个运算$\star$和$\triangle$，如下表所示，求各运算的幺元。

a）$A$上的$\star$运算

$\star$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$
$\alpha$	$\delta$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
$\beta$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$
$\gamma$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\gamma$
$\delta$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$

b）$A$上的$\triangle$运算

$\triangle$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$
$\alpha$	$\alpha$	$\beta$	$\delta$	$\gamma$
$\beta$	$\beta$	$\alpha$	$\gamma$	$\delta$
$\gamma$	$\gamma$	$\delta$	$\alpha$	$\beta$
$\delta$	$\delta$	$\delta$	$\beta$	$\gamma$

解：

表a)中第二行和第四行均与表头行一致，说明$\beta$和$\delta$是$*$的左幺元；表中任何列的值与表头列均不一致，表示$*$没有右幺元。

表b)中任何行均与表头行不一致，因此$\triangle$没有左幺元；表中的第一列与表头列一致，表示$\alpha$是$\triangle$的右幺元。

定理6.1 设$*$是定义在集合$A$上的二元运算，在$A$中存在关于$*$的左幺元$e_L$和右幺元$e_R$，则$e_L = e_R = e$，且$A$中的幺元是唯一的。

集合中的二元运算若同时存在左幺元和右幺元时；左幺元和右幺元必定相等，也就是必定存在幺元。

定义6.5 设$*$是定义在集合$A$上的二元运算，如果有一个元素$o_L \in A$，对于$\forall x \in A$都有$o_L * x = o_L$，则称$o_L$为$A$中关于运算$*$的**左零元。类似地，如果有一个元素$o_R \in A$，对于$\forall x \in A$都有$x * o_R = o_R$，则称$o_R$为$A$中关于运算$*$的右零元**。如果存在$o \in A$，它既是左零元又是右零元，则称$o$是$A$上关于$*$的零元。

零元与任何元素运算，结果都是零元本身。

定理6.2 设$*$是定义在集合$A$上的二元运算，在$A$中存在关于$*$的左零元$o_L$和右零元$o_R$，则$o_L = o_R = o$，且$A$中的零元元是唯一的。

集合中的二元运算若同时存在左零元和右零元时；左零元和右零元必定相等，也就是必定存在零元。

定理6.3 设有代数系统$<A,*>$中，$|A| \gt 1$；若该代数系统中存在关于$*$的幺元$e$和零元$o$，则必有$e \ne o$。

在元素个数大于1的集合定义的代数系统中，若对于其中的某个运算零元和幺元同时存在，则它们必定不相等。

定义6.6 设代数系统$<A,*>$，$e$是关于$*$的幺元。若对$A$中的某个元素$a$，存在$A$中的一个$b$，使得$b * a = e$，则称$b$为$a$的左逆元；若使得$a * b = e$，则称$b$为$a$的右逆元。若$b$既是$a$的左逆元又是$a$的右逆元，则称$b$是$a$的一个逆元，记作$a^{-1}$。

幺元和零元是针对集合上的运算的；

逆元则是在幺元存在的情况下，针对集合中某些元素的。

例6.7 设$A = \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}$，$*$为$A$上的二元运算，如下表所示；请指出代数系统$<A,*>$的逆元。

表：$A$上的运算$*$

*	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$
$\alpha$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$
$\beta$	$\beta$	$\delta$	$\alpha$	$\gamma$
$\gamma$	$\gamma$	$\alpha$	$\beta$	$\beta$
$\delta$	$\delta$	$\alpha$	$\gamma$	$\delta$

解：

①要求逆元必须先找到幺元；如表可知第一行与表头行一致，第一列与表头列一致；因此元素$\alpha$为代数系统$<A,*>$上$*$的幺元。

②根据找到的幺元，获取表中运算结果为幺元$\alpha$的所有操作：

$\alpha * \alpha = \alpha, \beta * \gamma = \alpha, \gamma * \beta = \alpha, \delta * \beta = \alpha$

③根据定义写出逆元：

$\alpha * \alpha = \alpha$知$\alpha$的左逆元和右逆元均为$\alpha$，因此逆元也是$\alpha$；$\alpha^{-1} = \alpha$。

$\beta * \gamma = \alpha$知$\beta$是$\gamma$的左逆元，$\gamma$是$\beta$的右逆元。

$\gamma * \beta = \alpha$知$\beta$是$\gamma$的右逆元，$\gamma$是$\beta$的左逆元。

有以上两条知：$\beta$和$\gamma$互为逆元；即：$\beta^{-1} = \gamma, \gamma^{-1} = \beta$

$\delta * \beta = \alpha$知$\delta$是$\beta$的左逆元，$\beta$是$\gamma$的右逆元。

综上：$\alpha^{-1} = \alpha,\beta^{-1} = \gamma, \gamma^{-1} = \beta$，$\delta$是$\beta$的左逆元，$\beta$是$\gamma$的右逆元。

定理6.4 设代数系统$<A,*>$，其中$*$是定义在$A$上的二元运算，$A$中存在幺元$e$，且每一个元素都有左逆元；如果$*$是可结合运算，那么该代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。

定义6.7 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数(也叫特异元素，即零元或幺元)的个数也相同，则称它们具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。

比如说：$V_1 = \{R,+,*,-,0,1\},V_2 = \{\rho(S),\cup,\cap,N,\emptyset,S\}$，可称$V_1$和$V_2$是同类型的代数系统。

定义6.8 设$V = <S,f_1,f_2,...,f_k>$是代数系统，$B \subseteq S$，且$B$对$f_1,f_2,...,f_k$都是封闭的，$B$和$S$还含有相同的代数常数(也叫特异元素，即零元或幺元)，则称$<B,f_1,f_2,...,f_k>$是$V$的子代数系统，简称子代数。

6.2 群与半群

群与半群都是具有一个二元运算的代数系统。

6.2.1 半群与独异点

定义6.9 设$V = \{S,*\}$是代数系统，$*$是集合$S$上的二元运算，若$*$是封闭的且是可结合的，则称$V$为半群。

由定义知，若$V = \{S,*\}$是半群，则对$\forall a,b,c \in S$，则有：$a * b \in S$且$a * (b * c) = (a * b) * c$。

定义6.10 若半群$<S,*>$中存在一个幺元，则称$<S,*>$为独异点（或含幺元的半群）。

由于普通的加法和乘法均满足结合律，所以$<Z,+>、<N,+>、<Q,+>、<R,+>$等是半群。0是各自的幺元，所以这几个代数系统也都是独异点。代数系统$<Z^+,+>$也是半群但是因不含元素0，所以它不是独异点。

定理6.5 设$<S,*>$是一个半群，$B \subseteq S$且$*$在$B$上封闭，那么$<B,*>$也是一个半群，通常称$<B,*>$是半群$<S,*>$的子半群。

定理6.6 设$<S,*>$是独异点，对于$\forall a,b \in S$若$a,b$均有逆元，则：

(1) $(a^{-1})^{-1}=a$

(2)若$a * b$有逆元，则$(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$

6.2.2 群

定义6.11 设$<G,*>$是一个独异点，其中$G$为非空集合，$*$是$G$上的一个二元运算，对于$\forall x \in G$都有逆元$x^{-1}$存在，则称$<G,*>$是一个群。

直观解释下它们的关系：

前面定义的代数系统$<Z,+>、<Q,+>和<R,+>$都是群，$0$是各自的幺元，对每个元素$x$，$-x$就是它的逆元。这些群分别称为：整数加群、有理数加群和实数加群。

但是$<N,+>$不是群，因为对于$N$，它不包含负数，所以$N$中的元素除0之外都不存在它的逆元；因此，$<N,+>$不是群。

定义6.12 设$<G,*>$是一个群，如果$G$是有限集，则称$<G,*>$为有限群，$G$中元素的个数称为该有限群的阶数。记作：$|G|$。当$|G|=1$时其实就是$G = \{e\}$，这个群称为平凡群。

定义6.13 设$<G,*>$是一个群，若运算$*$在$G$上满足交换律，则称$G$为交换群或$Abel$群。

定义6.14 设$<G,*>$是群，$e$是幺元，$\forall a \in G,n \in Z$，定义$a^n$：

$a^n = \left\{ \begin{array}{} e \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &n=0\\ a^{n-1}a \ \ \ \ \ \ &n \gt 0\\ (a^{-1})^m \ \ \ \ &n \lt 0,n=-m\\ \end{array} \right.$

定义6.15 设$<G,*>$是群，$e$是幺元，$\forall a \in G$，使得$a^k = e$成立的最小正整数$k$称为$a$的阶，记作：$|a|$，$a$称作$k$的阶元。若不存在这样的正整数$k$，则$a$称为无限阶元。

定理6.7 设$<G,*>$是群，$\forall a,b \in G, \forall n,m \in Z$，则有：

①$(a^{-1})^{-1} = a$

②$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$

③$a^na^m=a^{n+m}$

④$(a^n)^m = a^{nm}$

⑤若$G$为$Abel$群则$(ab)^n = a^nb^n$

定义6.16 在代数系统$<G,*>$中如果存在$a \in G$，有$a * a = a$，则称$a$为幂等元。若$*$满足幂等律，则$G$中所有元素均是幂等元。

定理6.8 $<G,*>$是群，则$G$满足消去律，即$\forall a,b \in G$；则有：

(1) 若$a * b = a * c$则$b = c$

(2) 若$b * a = c *a$则$b = c$

定理6.9 在群$<G,*>$中$e$是唯一的幂等元。

重要的结论！！！

定理6.10 $<G,*>$是非平凡群($|G| \gt 1$)，则群中不存在零元。

平凡群中唯一的元素e即可以看作是幺元也可以看作是零元。

定理6.11 设$<G,*>$是群，对于$\forall a,b \in G$，必存在唯一元素$x \in G$，使得$a * x = b$。

吐槽：跟废话一样！！

定义6.17 设$<G,*>$是群，若在$G$中存在一个元素$a$，使得$G$中的任意元素都由$a$的幂组成，则称该群为循环群，元素$a$称为循环群$G$的生成元。

扩展：

1.$G$的阶($|G|$)有限，则循环群被称为：有限循环群。

2.$G$的阶($|G|$)无限，则循环群被称为：无限循环群。

3.循环群的生成元可以不唯一。

定义6.18 设$<G,*>$是一个群，$S$是$G$的非空子集，如果$<S,*>$也是群，则称$<S,*>$是$<G,*>$的子群，记作：$S \le G$。

子群判定的三个定理：

定理6.12 设$<G,*>$是群，$H$是$G$的非空子集，使$H \le G$的条件是：

(1) $\forall a,b \in H$，有$a * b \in H$

(2) $\forall a \in H$， 有$a^{-1} \in H$

(1)中的条件确保了封闭性；(2)中的条件确保了$H$中的元素都存在逆元且都包含在$H$中。

$*$的可结合性因$<G,*>$是群而天然成立；$<H,*>$是需要有幺元是(2)的前提，若(2)满足则自然成立。

定理6.13 设$<G,*>$是群，$H$是$G$的有穷非空子集，使$H \le G$的条件是：$\forall a,b \in H$，有$a * b^{-1} \in H$ 。

注意已知条件和成立条件均有细微差别。

定理6.14 设$<G,*>$是群，$H$是$G$的有穷非空子集，使$H \le G$的条件是：$\forall a,b \in H$，有$a * b \in H$ 。

定理6.12的简化版

6.3 环与域

半群和群仅在集合上定义一个二元运算；那么如果在集合上定义多个二元运算呢？

定义6.19 设$<A,+,*>$是一个代数系统，$+$和$*$是二元运算，若满足：

(1) $<A,+>$是$Abel$群(交换群)；

(2)$<A,*>$是半群；

(3)运算$*$对于运算$+$是可分配的；

则称$<A,+,*>$是一个环。

用图来解释下他们的关系：

定理6.15 设$<A,+,*>$是一个环，则对$\forall a,b,c \in A$有：

(1) $a * 0 = 0 *a = 0$

(2) $a * (-b) = (-a) * b = -(a * b)$

(3) $(-a) * (-b) = a*b$

(4) $a * (b-c) = a * b - a * c$

(5) $(b-c)*a = b*a - c*a$

定义6.20 设$<R,+,*>$是环，对$a,b \in R,a \ne 0,b\ne 0$，但$a*b=0$，则称$a$是$R$中的一个左零因子，$b$是$R$中的一个右零因子；若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它是一个零因子。

零因子可能有多个。

定义6.21 设$<A,+,*>$是环

(1) 若环中$*$满足交换律，则称$<A,+,*>$是可交换环。

(2) 若换种$*$存在幺元$e$，则称$<A,+,*>$是含幺元的环；称$e$是环的幺元。

(3) 对$\forall a,b \in A$，若$a * b = 0$则必有$a = 0或者b = 0$；则称$<A,+,*>$是一个无零因子环。

(4) 若$<A,+,*>$既是可交换环、含幺元的环也是无零因子环；则称$<A,+,*>$为整环。

定理6.16 设$<R,+,*>$是环；$R$是无零因子环，当且仅当$R$中的$*$适合消去律。即对$\forall a,b,c \in R,a \ne 0$若有$a * b = a * c$，则有$b = c$。

定义6.22 设$<R,+,*>$是一个整环，且$|R| \ge 2$，若$\forall a \in R^* = R - \{0\}$（a是R中非0元素），都有$a^{-1} \in R$，则称$<R,+,*>$是域。

它们之间凌乱而复杂的关系：

51对公式的支持实在是需要很大改进！！！