143. 质数判定__模板题链接
前置知识
费马小定理： p p p是质数，则对于任意的 a a a， a a a与 p p p互质，则有 a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod {p} ap−1≡1(modp)。
二次探测定理：如果 p p p是一个质数， x 2 ≡ 1 ( m o d p ) x ^ 2 \equiv 1 \pmod p x2≡1(modp)，则有解为 x 1 = 1 , x 2 = p − 1 x_1 = 1, x_2 = p - 1 x1=1,x2=p−1，推理如下
⇒ x 2 − 1 ≡ 0 ( m o d p ) \Rightarrow x ^ 2 - 1 \equiv 0 \pmod p ⇒x2−1≡0(modp)
⇒ p ∣ x 2 − 1 \Rightarrow p \mid x ^ 2 - 1 ⇒p∣x2−1
⇒ p ∣ ( x − 1 ) ( x + 1 ) \Rightarrow p \mid (x - 1)(x + 1) ⇒p∣(x−1)(x+1)
⇒ x 1 = 1 , x 2 = p − 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = p - 1 ⇒x1=1,x2=p−1
同样的我们即可反证：如果 x 2 ≡ 1 ( m o d p ) x ^ 2 \equiv 1 \pmod {p} x2≡1(modp)，并且 x ! = 1 ， x ! = n − 1 x != 1 ， x != n-1 x!=1，x!=n−1，那么我们一定可以认定 p p p不是质数。
miller_radin的实现
对于一个质数 p p p，我们显然可以得到 p − 1 = 2 s d p - 1 = 2 ^ s d p−1=2sd的形式， d d d是奇数。
我们在 [ 2 , n ) [2,n) [2,n)中随机选取一个数 a a a，显然有 a p − 1 = a 2 s d = ( ( ( ( a d ) 2 ) … … ) 2 ) a ^ {p - 1} = a ^ {2 ^ s d} = ((((a ^ d) ^ 2 )^ {……}) ^ 2) ap−1=a2sd=((((ad)2)……)2)。
所以我们可以从 a d a ^ d ad开始，做 s s s次二次探测，如果二次探测失败，我们直接得到这个数不止质数，当二次探测完成时，我们再做一次费马小定理的特判，判断该数是不是质数。
miller_rabin 模板代码
ll quick_mult(ll a, ll b, ll mod) {
ll ans = 0;
while(b) {
if(b & 1) ans = (ans + a) % mod;
a = (a + a) % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {
ll ans = 1;
while(n) {
if(n & 1) ans = quick_mult(ans, a, mod);
a = quick_mult(a, a, mod);
n >>= 1;
}
return ans;
}
bool miller_rabin(ll n) {
if(n == 2) return true;
if(n < 2 || !(n & 1)) return false;
ll s = 0, d = n - 1;
while(!(d & 1)) {
d >>= 1;
s++;
}
srand(time(0));
for(int i = 1; i <= 5; i++) {
ll a = rand() % (n - 2) + 2;
ll now = quick_pow(a, d, n), pre = now;
for(int j = 1; j <= s; j++) {
now = quick_mult(now, now, n);
if(now == 1 && pre != 1 && pre != n - 1) return false;
pre = now;
}
if(now != 1) return false;
}
return true;
}
