欧拉心算

推式子

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ϕ ( g c d ( i , j ) ) = ∑ d = 1 n ϕ ( d ) ∑ i = 1 n d ∑ j = 1 n d [ g c d ( i , j ) = = 1 ] = ∑ d = 1 n ϕ ( d ) ∑ k = 1 n d μ ( k ) ( ⌊ n k d ⌋ ) 2 另 t = k d = ∑ t = 1 n ( ⌊ n t ⌋ ) 2 ∑ d ∣ t ϕ ( d ) μ ( t d ) 另 f ( n ) = ∑ d ∣ n ϕ ( d ) μ ( n d ) 我 们 考 虑 如 何 得 到 这 个 函 数 的 前 缀 和 ， 显 然 这 是 一 个 积 性 函 数 有 如 下 性 质 f ( 1 ) = 1 f ( p ) = ϕ ( 1 ) μ ( p ) + ϕ ( p ) μ ( 1 ) = − 1 + p − 1 = p − 2 否 则 我 们 设 n = p k t , p , t 互 质 f ( n ) = f ( p k ) f ( t ) = ( ∑ d ∣ p k μ ( d ) ϕ ( p k d ) ) f ( t ) = ( ∑ i = 0 k μ ( p k ) ϕ ( p k − i ) ) f ( t ) = ( μ ( 1 ) ϕ ( p k ) + μ ( p ) ϕ ( p k − 1 ) ) f ( t ) = ( p k − 2 ( p 2 − 2 p + 1 ) ) f ( t ) 由 此 我 们 得 到 了 一 个 线 性 筛 法 , 接 下 来 数 论 分 块 即 可 。 \sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \phi(gcd(i, j))\\ = \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1} ^{\frac{n}{d}} [gcd(i, j) == 1]\\ = \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \sum_{k = 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(k) (\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor) ^2\\ 另t = kd\\ = \sum_{t = 1} ^{n} (\lfloor \frac{n}{t} \rfloor) ^ 2 \sum_{d \mid t} \phi(d) \mu(\frac{t}{d})\\ 另f(n) = \sum_{d \mid n} \phi(d) \mu(\frac{n}{d})\\ 我们考虑如何得到这个函数的前缀和，显然这是一个积性函数有如下性质\\ f(1) = 1\\ f(p) = \phi(1) \mu(p) + \phi(p) \mu(1) = -1 + p - 1 = p - 2\\ 否则我们设n = p ^ k t,p, t互质\\ f(n) = f(p ^ k) f(t) = (\sum_{d \mid p ^ k} \mu(d) \phi(\frac{p ^ k}{d}))f(t)\\ = (\sum_{i = 0} ^{k} \mu(p ^ k) \phi(p ^{k - i}))f(t)\\ = (\mu(1) \phi(p ^ k) + \mu(p) \phi(p ^{k - 1}))f(t)\\ = (p ^{k - 2} (p ^ 2 - 2p + 1))f(t)\\ 由此我们得到了一个线性筛法,接下来数论分块即可。 i=1∑n​j=1∑n​ϕ(gcd(i,j))=d=1∑n​ϕ(d)i=1∑dn​​j=1∑dn​​[gcd(i,j)==1]=d=1∑n​ϕ(d)k=1∑dn​​μ(k)(⌊kdn​⌋)2另t=kd=t=1∑n​(⌊tn​⌋)2d∣t∑​ϕ(d)μ(dt​)另f(n)=d∣n∑​ϕ(d)μ(dn​)我们考虑如何得到这个函数的前缀和，显然这是一个积性函数有如下性质f(1)=1f(p)=ϕ(1)μ(p)+ϕ(p)μ(1)=−1+p−1=p−2否则我们设n=pkt,p,t互质f(n)=f(pk)f(t)=(d∣pk∑​μ(d)ϕ(dpk​))f(t)=(i=0∑k​μ(pk)ϕ(pk−i))f(t)=(μ(1)ϕ(pk)+μ(p)ϕ(pk−1))f(t)=(pk−2(p2−2p+1))f(t)由此我们得到了一个线性筛法,接下来数论分块即可。

代码

bzoj挂了，所以没地方测试，所以只能在网上找了题解对拍了几组样例。

/*
  Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const int N = 1e7 + 10;

bool st[N];

ll f[N], prime[N], cnt;

ll quick_pow(ll a, int n) {
    ll ans = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

void init() {
    st[1] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        if(!st[i]) {
            prime[cnt++] = i;
            f[i] = i - 2;
        }
        for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {
            st[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                int num = 1, temp = i;
                while(temp % prime[j] == 0) {
                    temp /= prime[j], num++;
                }
                f[i * prime[j]] = 1ll * quick_pow(prime[j], num - 2) * (1ll * prime[j] * prime[j] - 2ll * prime[j] + 1) * f[temp];
                break;
            }
            f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]];
        }
    }
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        f[i] += f[i - 1];
    }
}

int main() {
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
    // ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ll n, ans = 0;
        scanf("%lld", &n);
        for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
            r = n / (n / l);
            ans += (n / l) * (n / l) * (f[r] - f[l - 1]);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
	return 0;
}