正交矩阵与正交变换

前置性质 1　$|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$。

证明见 “​​矩阵的运算规则​​”。

前置性质 2　$|\boldsymbol{A}^T| = |\boldsymbol{A}|$。

证明见 “​​矩阵的运算规则​​”。

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定义 1（正交矩阵）　如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$
$\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} \hspace{1em} （即 \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T） \tag{1}$
那么称 $\boldsymbol{A}$ 为 正交矩阵，简称 正交阵。

性质 1　方阵 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$

证明　将式 $(1)$ 用 $\boldsymbol{A}$ 的列向量表示，即是
$\begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1^T \\ \boldsymbol{a}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n^T \\ \end{pmatrix} (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n \\) = \boldsymbol{E}$
也就是 $n^2$ 个关系式
$\boldsymbol{a}^T_i \boldsymbol{a}_j = \begin{cases} 1, \ 当 i = j \\ 0, \ 当 i \ne j \end{cases} \hspace{1em} (i,j=1,2,\cdots,n)$
即 $\boldsymbol{A}$

性质 2　方阵 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$

证明　因为 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T)^T = \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$，所以 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{E}$。类似性质 1 可证性质 1 对于行向量仍然成立。

由此可见，$n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个列（行）向量是构成向量空间 $\R^n$

性质 3　若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T$

证明　因为 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T)^T = \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$，所以 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{E}$，从而 $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T$

性质 4　若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $|\boldsymbol{A}| = 1$ 或 $-1$。

证明　因为 $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$，所以 $|\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{E}|$；根据前置性质 1，有 $|\boldsymbol{A}^T| |\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{E}|$；根据前置性质 2，有 $|\boldsymbol{A}|^2 = |\boldsymbol{E}| = 1$，从而有 $|\boldsymbol{A}| = 1$ 或 $-1$。得证。

性质 5　若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是正交矩阵，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

证明　因为 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是正交矩阵，所以有 $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T$ 和 $\boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{B}^T$。根据两式，有
$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T$
因此 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

定义 2（正交变换）　若 $\boldsymbol{P}$ 为正交矩阵，则线性变换 $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}$ 称为 正交变换。

性质 6　设 $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}$ 为正交变换，则有 $||\boldsymbol{y}|| = ||\boldsymbol{x}||$。

证明　$||\boldsymbol{y}|| = \sqrt{\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{y}} = \sqrt{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{P}^T \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}} = \sqrt{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}} = ||\boldsymbol{x}||$。得证。

由于 $||\boldsymbol{x}||$ 表示向量的长度，相当于线段的长度，因此 $||\boldsymbol{y}|| = ||\boldsymbol{x}||$