矩阵A=O的充要条件是方阵A^TA=O

前置知识：

• 按行分块和按列分块

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定理　矩阵 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$ 的充分必要条件是方阵 $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$。

证明　必要性是显然的，下面证明充分性。

设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n}$，把 $\boldsymbol{A}$ 按列分块为 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n)$，则
$\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1^T \\ \boldsymbol{\alpha}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_n^T \end{pmatrix} (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1^T \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{\alpha}_1^T \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_1^T \boldsymbol{a}_n \\ \boldsymbol{\alpha}_2^T \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2^T \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_2^T \boldsymbol{a}_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_n^T \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{\alpha}_n^T \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_n^T \boldsymbol{a}_n \\ \end{pmatrix}$
即 $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}$ 的 $(i,j)$ 元为 $a_i^T a_j$，因 $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$，故
$\boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j = 0 \hspace{1em} (i,j=1,2,\cdots,n)$
特殊地，有
$\boldsymbol{a}_j^T \boldsymbol{a}_j = 0 \hspace{1em} (j=1,2,\cdots,n)$
而
$\boldsymbol{a}_j^T \boldsymbol{a}_j = (a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj}) \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix} = a_{1j}^2 + a_{2j}^2 + \cdots + a_{nj}^2 = 0$
因为 $a_{ij}$ 为实数，有 $a_{ij}^2 \ge 0$，所以
$a_{1j} = a_{2j} = \cdots a_{nj} = 0$
即
$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$