齐次线性方程组的解向量和基础解系

设有齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = 0 \end{cases} \tag{1}$
记
$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

则 $(1)$ 式可写成向量方程
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \tag{2}$
定义 1（解向量）　若 $x_1 = \xi_{11},x_2 = \xi_{21}, \cdots, x_n = \xi_{n1}$ 为 $(1)$
$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix}$
称为方程组 $(1)$ 的 解向量，也就是向量方程 $(2)$

根据向量方程 $(2)$，解向量具有如下性质和证明：

性质 1　若 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_2$ 为向量方程 $(2)$ 的解，则 $x = \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2$ 也是向量方程 $(2)$

证明　因为 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$，所以 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2$ 满足方程 $(2)$，即为向量方程 $(2)$

性质 2　若 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1$ 为向量方程 $(2)$ 的解，$k$ 为实数，则 $\boldsymbol{x} = k \boldsymbol{\xi}_1$ 也是向量方程 $(2)$

证明　因为 $\boldsymbol{A}(k \boldsymbol{\xi}_1) = k \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_1 = k \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$，所以 $\boldsymbol{x} = k \boldsymbol{\xi}_1$ 满足方程 $(2)$，即为向量方程 $(2)$

定义 2（基础解系）　齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系。

把向量方程 $(2)$ 的全体解所组成的集合记作 $S$，如果能求得解集 $S$ 的一个最大无关组 $S_0:\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_t$，那么方程 $(2)$ 的任一解都可由最大无关组 $S_0$ 线性表示；另一方面，根据性质 1 和性质 2 可知，最大无关组 $S_0$ 的任何线性组合
$\boldsymbol{x} = k_1 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2 \boldsymbol{\xi}_2 + \cdots k_t \boldsymbol{\xi}_t \hspace{1em} (k_1,k_2,\cdots,k_t 为任意实数)$
都是方程 $(2)$ 的解，因此上式便是方程 $(2)$