向量组的线性相关性

前置知识：

• 【定义】向量与向量组
• 线性方程组与矩阵的秩

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前置定理 1　$n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) < n$。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

前置定理 2　$n$ 阶线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$

(1) 无解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})$；

(2) 有唯一解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) = n$；

(3) 有无限多解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) < n$。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

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定义 1　给定向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$，使
$k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0}$
则称向量组 $A$ 是 线性相关 的，否则称它 线性无关。

当 $m=1$ 时，向量组只有一个向量，对于只含一个向量 $\boldsymbol{a}$ 的向量组，当 $\boldsymbol{a} = 0$ 时是线性相关的，当 $\boldsymbol{a} \ne 0$

定理 1　向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m \ (m \ge 2)$ 线性相关的充分必要条件是向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余 $m-1$

证明　首先证明必要性。如果向量组 $A$ 线性相关，则有不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ 使 $k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0}$。因 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ 不为为零，不妨设 $k_1 \ne 0$，于是便有
$\boldsymbol{a}_1 = \frac{-1}{k_1} (k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m)$
即 $\boldsymbol{a}_1$ 能由 $\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$

接着证明充分性。如果向量组 $A$ 中某个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表示，不妨设 $\boldsymbol{a}_m$ 能由 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{m-1}$ 线性表示，即有 $\lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1}$ 使 $\boldsymbol{a}_m = \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + \lambda_{m-1} \boldsymbol{a}_{m-1}$，于是
$\lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + \lambda_{m-1} \boldsymbol{a}_{m-1} + (-1)\boldsymbol{a}_m = 0$
因为 $-1 \ne 0$，所以 $\lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1},-1$ 这 $m$ 个数不全为零，进而向量组 $A$

定理 2　向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$ 的秩小于向量个数 $m$；向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = m$。

证明　记向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 构成的矩阵为 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$。

根据定义 1：向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0}$

根据前置定理 1：齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0}$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $R(\boldsymbol{A}) < m$。

定理 3　若向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性相关，则向量组 $B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{a}_{m+1}$ 也线性相关。反之，若向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$

证明　记 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$，$\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{a}_{m+1})$，显然有 $R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1$。

若向量组 $A$ 线性相关，则根据定理 2，有 $R(\boldsymbol{A}) < m$，从而 $R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1 < m + 1$；根据定理 2，向量组 $B$

若向量组 $B$ 线性无关，则根据定理 2，有 $R(\boldsymbol{B}) = m+1$，从而 $R(\boldsymbol{A}) \ge R(\boldsymbol{B}) - 1 = m$；因为 $\boldsymbol{A}$ 只有 $m$ 列，所以 $R(\boldsymbol{A}) \le m$，于是 $R(\boldsymbol{A}) = m$；根据定理 2，向量组 $A$

定理 3 是对向量组增加 1 个向量而言的，增加多个向量结论也仍然成立。即设向量组 $A$ 是向量组的 $B$ 的一部分（这时称向量组 $A$ 是向量组 $B$ 的 部分组），于于是定理 3 可一般地叙述为：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。

定理 4　$m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维度 $n$ 小于向量个数 $m$ 时一定线性相关。特别地 $n+1$ 个 $n$

证明　$m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 构成矩阵 $\boldsymbol{A}_{n \times m} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$，显然有 $R(\boldsymbol{A}) \le n$。因为 $n < m$，所以 $R(\boldsymbol{A}) \le n < m$。根据定理 2，$m$ 个向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$

定理 5　设向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性无关，而向量组 $B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}$ 线性相关，则向量 $\boldsymbol{b}$ 必能由向量组 $A$

证明　记 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$，$\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b})$，显然有 $R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{B})$。因为向量组 $A$ 线性无关，所以 $R(\boldsymbol{A}) = m$。因为向量组 $B$ 线性相关，所以 $R(\boldsymbol{B}) < m+1$。因为 $m = R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{B}) < m + 1$，所以 $R(\boldsymbol{B}) = m$。

根据前置定理 2 可知，因为 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = m$，所以方程组 $(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一解，从而向量 $\boldsymbol{b}$ 能由向量组 $A$