P1876 开灯[洛谷]

P1876 开灯[洛谷]

1.题目

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题目描述

首先所有的灯都是关的（注意是关！），编号为 $1$ 的人走过来，把是 $1$ 的倍数的灯全部打开，编号为 $2$ 的人把是 $2$ 的倍数的灯全部关上，编号为 $3$ 的人又把是 $3$ 的倍数的灯开的关上，关的开起来……直到第 $N$

给定 $N$，求 $N$

输入格式

一个数 $N$，表示灯的个数和操作的轮数。

输出格式

若干数，表示开着的电灯编号。

样例输入 #1

5

样例输出 #1

1 4

提示

【数据范围】

对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le N \le 2^{40}$。

2.分析

exp:
结论：只有完全平方数的约数个数为奇数[√n 与其它不成对]

证明：
假设一个数为N，可拆分为 p₁^a1 * p₂^a2 * … * p_k^ak
则其约数个数为 (a1+1)(a2+1)…*(ak+1) [不同约数选择时，a_i+1种选择]
初始状态灯是关的，要使最终灯亮，则约数个数为奇数，则只能a1,a2,…ak均为偶数
则可找到一个数M = p₁^(a1/2) * p₂^(a1/2)… pk^(ak/2) ， 使得 N = M^2
亦即N为完全平方数

3.代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
  LL n;
  scanf("%lld", &n);
  for (LL i = 1; i * i <= n; ++i)
    printf("%lld ", i*i);
  return 0;
}

4.总结

约数

5.更新日志

2022.8.6 整理

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