P2619 [国家集训队]Tree I(wqs二分)

原创

Herio 2022-04-18 11:26:17 ©著作权

文章标签 wqs二分 #define 斜率 ios 文章分类 代码人生

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P2619 [国家集训队]Tree I(wqs二分)

wqs是一个大佬，wqs二分是基于凸包型的问题，斜率的二分。

本题设 ( x , g ( x ) ) (x,g(x)) (x,g(x)) 表示恰好选择 x x x条白边，对应最小MST的权值和 g ( x ) g(x) g(x)。

可以用平方的dp 证明该函数形状是个下凸的。

然后就可以上wqs二分了。

我们二分增量，也就是直线的斜率，在本题就是所有白边权值的增量。

然后用Kruskal找到最优值 a n s ans ans，显然我们可以同时求出对应的白边的数量 x ′ x' x′。

如果 x ′ ≥ n e e d x'\ge need x′≥need ，则说明二分的斜率 m i d mid mid 偏小， l = m i d + 1 l=mid+1 l=mid+1，然后更新 r e s = a n s − m i d × n e e d res =ans-mid\times need res=ans−mid×need。这里是还原mid对应的影响。

最后的 r e s res res就是答案了。

时间复杂度： O ( m l o g m × l o g W ) O(mlogm\times logW) O(mlogm×logW)

// Problem: P2619 [国家集训队]Tree I
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2619
// Memory Limit: 500 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2022-04-11 21:33:52
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=5e4+5,M=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = {402653189,805306457,1610612741,998244353};
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n){
  for(int i=1;i<n;i++)
    printf("%d ",a[i]);
  printf("%d\n",a[n]); 
}
template <typename T>   //x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y){
  if(x<y) x=y;
}
template <typename T>
void cmn(T &x,T y){
  if(x>y) x=y;
}
struct Kruskal{
#define il inline 
  struct edge{
    int u,v,w,o;
    bool operator<(const edge &e)const{
      return w==e.w?o<e.o:w<e.w;
    }
  }e[M];
  int s[N];
  il int find(int x){
    return s[x]==x?x:s[x]=find(s[x]);
  }
  int n,m,need;
  il void init(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&need);
    rep(i,1,m){
      int u,v,w,o;
      scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&o);
      u++,v++;
      e[i] = {u,v,w,o};
    }
    int l = -100,r = 100;
    ll res  = 0,ans = 0;
    int cnt = 0;
    //printf("n=%d m=%d\n",n,m);
    while(l<=r){
      int mid = l+r>>1;
      rep(i,1,m){
        if(!e[i].o) e[i].w+=mid;
      }
      solve(cnt,ans);
      //printf("cnt=%d\n",cnt);
      if(cnt>=need) res = ans-need*mid, l = mid+1;
      else r = mid-1;
      rep(i,1,m){
        if(!e[i].o) e[i].w-=mid;
      }
    }
    printf("%lld\n",res);
  }
  il void solve(int &cnt,ll &ans){
    sort(e+1,e+m+1);
    rep(i,1,n) s[i] = i;
    cnt = 0;
    ans = 0;
    int cc = 0;
    rep(i,1,m){
      int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;
      u=find(u),v=find(v);
      if(u!=v){
        ans += w;
        s[u] = v;
        cc++;
        if(!e[i].o) cnt++;
      }
      if(cc == n - 1) {
        return;
      }
    }
  }
}T;
int main(){
  T.init();
  return 0;
}