AtCoder Beginner Contest 172.F - Unfair Nim
传送门
思路：异或的性质+构造。
显然题目背景是 N i m Nim Nim游戏，我们目的是让后手胜，显然 n n n堆石子异或为 0 0 0时，后手必胜。接下我们需要构造来使 n n n堆石子异或和为 0 0 0。
因为题目要求我们只能将移动第一堆石子给第二堆石子。
我们记第一堆和第二堆石子个数分别为 a , b a,b a,b。
所以我们可以预处理第 3 3 3堆到第 n n n堆石子的异或和，我们记为 c c c。
设需要移动的石子数为 x x x个。
即我们要使： ( a − x ) ⊕ ( b + x ) ⊕ c = 0 → ( a − x ) ⊕ ( b + x ) = c (a-x)\oplus(b+x)\oplus c=0\rightarrow (a-x)\oplus (b+x)=c (a−x)⊕(b+x)⊕c=0→(a−x)⊕(b+x)=c
首先我们需要知道几个结论：
1： a 1 ⊕ a 2 ⋯ ⊕ a n ≤ ∑ i = 1 n a i a_1\oplus a_2\dots \oplus a_n\leq \sum\limits_{i=1}^n a_i a1⊕a2⋯⊕an≤i=1∑nai
即 n n n个数异或和不能大于其求和。显然取等当这个 n n n个数两两的 1 1 1所在位不同。
2.异或和与求和奇偶性相同。
3.要构造长度为2的数组。
最开始满足的条件是 z ⊕ z ⊕ x = 0 , z = y − x 2 ， x 是 异 或 和 ， y 是 求 和 。 z\oplus z\oplus x=0,z=\dfrac{y-x}{2}，x是异或和，y是求和。 z⊕z⊕x=0,z=2y−x，x是异或和，y是求和。
当且仅当 ( z & x ) = = 0 (z\&x)==0 (z&x)==0，长度才能变为2。即 z , x z,x z,x两个数1的位完全不同，因此才能满足 z ⊕ x = z + x z\oplus x=z+x z⊕x=z+x.
以上证明如果不懂可以看看之前的博客写的一个类似的题，相信会有更清楚的理解。
博客链接
因此我们可以先排除一些不可能的答案。
记 s = a + b , d = ( s − c ) , a n s = d / 2 s=a+b,d=(s-c),ans=d/2 s=a+b,d=(s−c),ans=d/2
( ( d & 1 ) ∣ ∣ ( d < 0 ) ∣ ∣ ( a n s > a ) ∣ ∣ ( a n s & c ) ) ((d\&1)||(d<0)||(ans>a)||(ans\&c)) ((d&1)∣∣(d<0)∣∣(ans>a)∣∣(ans&c)) 是不可能的情况。
第一个对应性质2，第二个对应性质1，第三个是要当前最小的构造 z z z必须不能大于 a a a，
第四个是性质3.
因为题目是要求拿走的石子数最少，即 a n s ans ans要在 ≤ a \leq a ≤a的情况下最大。
因为 a n s , ( a n s ⊕ c ) ans,(ans\oplus c) ans,(ans⊕c)前一个数的 1 1 1所在位，后面全部有，且 a n s , c ans,c ans,c的1位不同。(性质3)
所以我们只需要从 c c c里拿 1 1 1过来给前面一个数，让 a n s ans ans变大。
所以枚举一下 c c c的1的位就解决了此题。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
int main(){
int n;
ll a,b,c=0;
scanf("%d%lld%lld",&n,&a,&b);
for(int i=3;i<=n;i++){
ll x;
scanf("%lld",&x);
c^=x;
}
ll s=a+b,d=(s-c),ans=d/2;
if((d&1)||d<0||ans>a||(ans&c)) return puts("-1"),0;
for(ll i=(1LL<<61);i;i>>=1){
if((i&c)&&ans+i<=a) ans+=i;
}
printf(ans?"%lld\n":"-1\n",a-ans);
return 0;
}
